当前课程知识点：线性系统理论 > 第二周（第二部分：线性系统的时域理论）：系统的状态空间描述（一） > LST1-2-2 由输出输入描述导出状态空间描述（二） > 视频
接下来 我会给大家介绍
输入输出导出状态空间模型的第二个知识点
这个也是我们具体来讨论
怎么样去建立状态空间模型的方法
这是相对简单的
这一点就是我们针对一种特殊情况
针对（*）里面我们这个输入项
这个u相关的这些项
它是一个非常简单的一项
就是直接是这个u
也就是我的y的n阶导数加上a1
一直到y的n-1阶导数加到an y
它直接就等于u
那么没有关于u的个别导数的这个项
这种情况是什么呢
这种情况就是m等于0的情况
我们可以看出来 对这类系统呢
我们只要知道初始条件y(0) y的1阶导数
一直到y的n-1阶导数的这个初始值
以及对于t大于等于0的输入条件u(t)的信号
从数学理论上 微分方程的理论告诉我们
我们就可以完全唯一的把这个y随时间
在t0以后的值全部唯一的确定下来
这是根据微分方程的可解性来决定的
那么既然是这样的话
我们就有一个充分的理由相信
我们y y的1阶导数 一直到y的n-1阶导数
就很自然的入选为
我们选择了状态变量的这个考虑范围之内
因为它们的条件已经给定的话
就可以为一个确定未来的这个y结合这个输入信号
所以这是我们从数学上看这个依据
状态变量选择的这个依据
我们下面就来具体的看
我们就索性把这个状态变量选成n个
这样我们就确定了状态的个数
其次呢 我们确定了x1一直到xn
分别是y y的1阶导数一直到y的n-1阶导数
把输出量本身的值 以及到它的到n-1阶导数的这个
这些量 都作为我们状态的变量
然后合在一起形成一个n维的状态向量
那么我们接下来的问题就是考虑
怎么样根据我们已知的高阶方程
唯一的给出我们的状态方程和输出方程
我们下边先看状态方程的建立
状态方程是联立的微分方程组
每一个微分方程都是1阶的
都是各个变量的时间导数
到底怎么依赖于状态变量和输入
我们看一下x1的1阶导数
x1就是y 所以它的1阶导数就是y的1阶导数
那么我们已经把y的1阶导数
选成的状态变量它就是x2
所以我们会发现x的n-1阶导数
x n-1的1阶导数就是y的n-1阶导数
那么就等于xn
而xn呢 是y的n-1阶导数
所以在这个地方 我们看到它的导数是什么
就是y的n阶导数
我们前面一直到xn为止
我们都会发现xn的n减1的这个
就是x i的导数等于x i加1
但是到xn的导数的时候
我发现这个状态变量已经用完了
就是出现了y的n阶导数
而没有y的n减1阶导数以及更低阶的导数
这个时候我们就不能够把xn的1阶导数
直接表示成状态变量本身了
这个时候我们怎么办呢
我们看一下 y的n阶导数到底是谁
y的n阶导数它怎么依赖于
我们选的状态变量和输入
这个时候很幸运的是什么呢
就是我们本身已知的这个高阶方程
它回答这个问题
它说y的n阶导数加上低阶导数
y的低阶导数和u是可以做线性组合给出的
所以我们就利用这个关系
我们可以把x的n的1阶导数写成
负的a1 y的n减1阶导数减去a2 y的n减2阶导数
一直减 减到any然后再加上u
这就可以把y的n阶导数给替换掉
而我们这里边 一旦出现了y的低阶导数时候
我们就可以用状态变量代入
所以我们可以把xn一阶导数
写成负a1xn 一直到负anx1加上u
这样我们就看出来
到目前为止所列出来的n个微分方程都是1阶的
全是关于状态变量的
然后 每一个方程最右边的这个表达式
都已经化成了 由状态变量和u在t时刻的线性组合
这就满足了我们建立状态方程的要求
我们可以再看一下我们的输出方程
输出方程无非是你关心的这个量
在我们这输出就是y
y是谁呢 y就是我的第一个状态变量x1
所以 可以看做是状态和输出的线性组合
所以可以把我们的状态方程和输出方程联立起来
然后建立一个矩阵向量形式的统一描述
那我们看到x1一点x2一点到xn一点
这个状态向量的时间导数
可以写成为一个矩阵乘上x1到xn
加上另外一个向量乘以u
而这个矩阵具有这样一个形式
它是0100 0010然后是0001
最后最底下一行是负的an 负的an减1
负的an减2一直到负a1
然后我们的y是可以写成
一个横向量1 0 0乘以x1一直到xn的形式
这样的话 我们就建立起来
关于输入输出高阶微分方程
yn一直到any 相加然后等于u这个方程
它所表示这个系统的状态空间的表达式
那么给出了它的一个完整的状态空间的模型
那我们可以看到这里面非常有意思的一点
就是我们这个方程
y的各阶导数 前面的系数怎么样
在这个系数矩阵里面有一个直接的体现
特别是在A矩阵的最底下的一行
实际上是它们适当排列然后添加一些负号来决定的
那么我们输入的这个向量
001这个向量它也是很有特点的
就只有一个1
那我们的输出也很有特点
这是我们这个关于方程的具体的矩阵的形式
我们再进一步的可以把它转化成简写的符号的表达
我们可以得到这样一个
x的一点等于ax+bu y等于c转置x...的形式
其中的参数矩阵就是我们刚刚提到的各个系数矩阵
那我们下面为了能直观的对大家说明
我们举一个数学的列子
在里面我们给出来的是一个三阶的微分方程
y的三阶导数加上7乘以y的两阶导数
加14 y的一阶导数加上10倍的y等于u
我们要看这样的一个系统
这是个输入输出关系
我们给出他的一个状态空间描述来
首先我们还是按照我们这个算法
可以选取它的状态变量
这是个三阶方程 所以我们需要三个初始条件
我们把相应的各阶导数
列上变成x1x2x3
构成我们的状态变量组
然后我们看它的各阶导数
按照我们前边一般性的写法
我们可以知道
这个能够列出三个 一阶微分方程组来
特别是x3一点等于y的三阶导数
等于-10x1减去14x2减去7 x3加上u
我们把它整理成向量的形式
我们发现把-10-14和-7直接拿来
放到A矩阵的最底一行
然后我们A矩阵上边这个
分块的这个n-1阶的单位矩阵
那么其他的矩阵都是001的形式
输入矩阵001输出矩阵100的形式
我们可以把它简写成 这样一个矩阵向量的描述
也就是x一点等于010
001-10-14-7乘以x加上001u
然后y等于100乘以x
这里边我们要强调一下
你没有看到直接输出的影响
所以d矩阵呢我们是为零的
这是我们关于输入输出描述
导出状态空间描述的这样一个
知识点的一个例子
是一个比较简单的情况
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