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我们已经简单的讨论了一下
就是最优估计和最优控制跟能控能关性之间的联系
就是工程上到底为什么这个概念非常重要
那我们现在就通过一个例子
具体来介绍一下能控性这个概念
能控性具体意味着什么
我们结合线性系统具体的实例来分析一下
这种讨论输入信号对状态支配的能力
到底具体怎样一个体现方法
这里面碰到哪些技术上分析上的细节
我们来看一下能控性这个概念
它涉及到像我们提到的
线性系统的输入对状态影响的程度和能力
为了说明这个概念 我们下面来从具体的例子入手
来看一下 判断可控性或者叫能控性这事
具体有哪些细节问题
我们给一个例子 这个例子是个二阶系统
X一点等于-3 0 -2 X加上0 1 u
这个方程你可以写成分量的形式
也就是X一点等于-3X1 X2一点等于-2X2加U
通过这个例子 大家可以看出来
如果你要讨论这个U对状态的影响
你肯定是分别讨论U对第一个状态X1的影响
对第二个变量X2的影响
而这个系统有一个非常显著的特征
就是看这个A矩阵它是个对角型的矩阵
它只有对角线上-3 -2 两个侧面的元素都是0
这种情况方程中也可以看出来
是什么情况呢
就是X1变化只更它自己当前的情况有关系
跟X2的没关系
X2的变化也只更X2有关系 和U有关系
和X1没关系
那这种情况实际上我们如果去判断的话
到底可控性如何我们是很容易得出结论的
也很直观
我们一下就可以断言
我们这个输入信号是可以支配X2的
但是X1是肯定支配不了
因为X1根本不受U的影响
所以这个时候就涉及到
如果X1这个变量有了偏差
那我们就不能通过控制去影响它
从而也不能达到消除偏差这个目的
所以这个时候就出了问题了
这就是我们谈到能控性
具体到一个系统上你怎么去判断
那我们通过一个例子看出来
实际上如果是这种A矩阵是对角形式的话
是比较容易判断的
就是你看有没有U出现
如果有U在这个方程里出现
那这个方程所对应的状态变量就是可控的
如果没有 它就不能控
那么这个例子给我们一个启发
就是说我们可以在某些情况下能过简单的来判断
但是是不是所有的判断问题都是这么简单呢
这个可能还值得商榷
我们下面来看一个另外的例子
这个是图1给出来一个电路的例子
这里面有一个电压源 三个电阻 两电容
我们可以把它的状态方程可以个给它写出来
这里面假定了RC等于三分之一
所以我们可以具体的写出来这个状态方程的表达式
这里面X一点等于-2 1 1 -2 X加上1 1 u
从这个例子里我们就可以看出
如果你把它写成分量的形式的话
那么X1的导数跟X1 X2和U都有关系
X2的导数和X1 X2和U也都有关系
所以根据我们刚才那个例子的想法的话
我们很自然的可能会猜测这个例子应该是可控的吧
但是我们不能先不能够急于得出这个结论
为什么呢
因为这里面还有一些细节我们需要来考虑
我们这画了一个B这个图
这个B的图里面特别的给我们画了一条虚线
就是X1等于X2这条虚线
我们待会再来讨论这个意味着什么
我们可以用前面的计算状态转移矩阵的方法
把状态转移矩阵计算出来
就是exp(At)=1/2里边这几项
那么我们看到exp(-t)和exp(-3t)这两种模态的线性组合
我们在这讨论一下u这个输入信号对状态向量的控制能力
状态有两个分量
我们首先来看一下
当初始条件 就是零状态响应当中
初始条件为0的时候 我们看一下输入u的作用
那这个时候我们可知道
它完全由输入信号和exp(At)*b来做卷积
这个结果我们可以计算出来
计算出来发现有什么特点呢
就是这个零状态响应里边
会发现x1和x2这两个分量表达式完全相同
不管单个的输入u是什么 最后整理成下面这个式子
就是e1这个向量乘以这个卷积
这个卷积是exp(lambda t)*u(tau)这个形式
那么这里面会发现什么呢
如果从0初始状态出发 u不管怎么转移
出来的x1和x2总是一致的
那么不管u怎么选择 这两个分量始终相等
言外之意是说
如果初始状态是0
这两个状态不相等的时候
那你就有问题了
那这个u就找不出来
当然我们通常考虑的问题是说有了不等于零的分量
我要对它进行消除
从这个意义上说
还是可以找到u 把这个分量消除掉
因为它两个分量相等
只要消除一个分量就可以了
这种情况是可以的
由直线x1=x2出发的这些初始状态
会发现同样也是这样
就是自由响应叫零输入响应本身也是相等的
这一点不太带来太大的问题
下面我们来看一下真正造成麻烦的是第三种情况
如果初始状态 x1=-x2
也就是我们出发
是从x1不等于x2这样一个初始条件出发
当然是非0的
那这种情况下 我们会看到什么现象呢
就是如果把它的零输入响应求出来
会发现零输入响应整理出来的结果
x1和x2这两个分量始终是相反数
也就是说 它们始终是不相等的
刚才我们对第三种情况的分析带来一个问题
我们会发现在这种情况下
你不太可能通过有限时间的一个输入信号
把状态置回到原点
这个在电路的例子里也比较容易理解
这就是两个并联的电阻电容的支路的一个特殊情况
就是两个电阻和电容的参数是完全相同的
这种情况下我们如果把电容和电压作为状态量
就会发现如果初始条件下这两个电容的电压不相等
或者说电压正好相反的话
那么就不可能通过改变外界的电压源
把两个电容的电压在有限的时间内让它们完全相等
这就是使得控制问题带来了麻烦
我们已经通过分析这个具体的运动过程
特别是讨论第二个例子里面这个方程的解可以看出来
能控性在电容电路的例子里还是出了一些问题
并不是说方程每个变量都依赖于所有输入的话
就直接能判断它是能控的
下面再通过数学的分析来看一看
到底能控性分析这个思路应该怎么来展开
下面我们就对例二的状态方程进行线性变换
可以看得很清楚特征值是-1和-3
我们取一个变换阵
当然这个变换阵还是通过求解两个特征向量来组成的
我们可以把状态方程转换为变换后新坐标的形式
变成的结果写在底下
在新坐标下面 A矩阵是[-1 0; 0 -3]b矩阵是[1 0]
转换成这样以后我们就可以看出来
其实还是很明显的
就是它仍然是对角形式
第一个方程里面有u
状态变量只依赖于它本身和输入变量
第二个变量只有它自己来影响未来
不受输入的影响
这样的话
我们把它写成方程的形式就看的很显然
新坐标下面x1~的导数等于-x1~+u
x2~的导数等于-3x2~
这个时候我们就可以退化到例一的情况
就是直接来讨论到底能不能控
这个时候第一个模态是能控的
第二个模态是不能控的
从这个例子我们也可以看出来
不能直接从方程系数关系来直接下判断
但是第二我们也希望通过分析先把它对角化
那么对角化后就看的比较清楚
这个也给我们一个可能的思路
所以我们通过这一小节的探讨我们明确了一点
就是说这个能控性这个概念实际上还是需要做一些分析
另外结合方程的描述形式
这种相似变换在我们分析能控性里面应该是大有用武之地
后面的分析会结合这样的一些探讨
把它更加的形式化和系统化
到底能控的概念和方法应该怎么样来展开
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