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这个模态判据对一个对角标准型来说非常好用
大家看到我们可以对它很直观很简单的判断
那么并不是所有的A矩阵都可以直接做成对角标准化的
所以我们一般的情况其实要讨论的
模态判据是约当标准型的情况
那么我们下来给出具体的介绍
这仍然是我们模态判据的一部分
当这个系统有重根的时候 A有重根的时候
我们实际上顶多一般来说我们能够把它通过相似变换
变成给大家展示的约当标准型的形式
A矩阵是由若干个约当块构成的
每个约当块我们曾经提到的
它的对角线是相应的特征值
而次对角线是全1的 这样一种形式
对于这样有重根的情况我们的判据是什么
类似于我们这个对于对角型的讨论
也是可以把它进行展开的
但判据的表述是这样的
就是它的每一个约当块所对应的最后一行
这个输入的分块这一行元素不全为0 B的新坐标底下
它的每个约当块不是有一定的尺寸吗
它的这个尺寸最后一行所对应的B那一行
它不能等于0, 其他行是可以等于0
那么这个证明呢
我们也要按照分量形式变换以后的状态方程写出来
然后我们会发现这里输入和状态之间的这种耦合
由于约当块的出现
它的这个状态分量之间不是简单的互相无关
它的一个约当块内部的状态实际是有关联的
后边的状态可能影响到前边
前边的状态不影响后边
那么是这样的一个情况
那么 只要我们在整个约当块所对应的变量组里面
能够影响它最后一个状态
那么就可以实现对其它状态的控制
但是 如果说最后一个状态的方程里面
对应的输入的系数全是0
那就有问题了 整个约当块的状态变量你都控制不了
这种情况就是我们的判据所要排除的
我们下面举点例子 再给出三个例子来
我们看 这里都是以约当块的形式给出的状态方程
那么显然我们可以直接套用一下这个判据
我们这个判据里边
对第一个小例子看lamda_1,lamda_2会看到
上面lamda_1对应的约当块是一个2*2的约当块
那么它对应的B 是有两行的
我们的判据要求呢
第二行是不能等于0
这个例子恰好第二行B的元素是假设是不等于0的
所以它是完全能控的
对第二个约当块lamda_2来说
它所对应的B也是不等于0的
所以两个约当块都是可控的 整个就可控了
那我们再看第二个例子
第二例子给出的是两个约当块
实际上是三个约当块
第一个大的约当块是2*2
底下有两个是-4 -5 两个分别的约当块是1*1的
那么这里面按照我们的判据
我们去分析一下 看到主要的问题是第一个约当块,
因为它是2*2 只需要看B矩阵的第二行 [3,0]不全0
所以第一个约当块是可控的
另外两个约当块-4 -5 也都是可控的
然后我们再看第三个例子
第三个小例子 其实A矩阵是一样的
但是B矩阵我们会发现
它这个B矩阵里边的第一个约当块
它的第二行是全零
尽管第一行不等于零 但第二行是全零
这种情况按照我们的判定第一个约当块是不可控的
那么这个系统也就是不可控的
这里面我想要稍微强调一下一个细节
我们第一个小例子里面 lamda_1和lamda_2
我们假设这两个约当块的特征值是不一样的
如果它一样的话 我们需要额外的增加情况
这就是接下来要讨论的第三种情况
就是系统的约当标准型存在着多个约当块
对应于相同的特征值
这种情况充分必要条件是在我们前面讨论情况的基础之上
还要附加一个条件
除了每个约当块自己所对应的输入向量这一行不能全为零
就是最后一行不能全为零以外
相同特征值的约当块所对应的非零行之间
还要是线性无关的
这里最好用一个例子来说 我们这个例子有两个
两个约当块都是特征值全是-3
我们看到第一个例子里边 非零的这两行
就是第二行和第四行 一个是[3 0] 一个是[0 1]
这两个都是非零的
第二呢 [3 0]和[0 1]本身还是线性无关的
所以我们按照情况三的话
就可以判定这个系统按照模态来说是没有不可控的模态
那么第二个例子呢 有两个约当块都是相同的特征值-3
这个时候呢
我们看到尽管两个模块最后一行对应的输入矩阵里面
[3 0]和[1 0]都是不等于0的
但是由于这两个约当块特征值都是-3
那么同时[3 0]和[1 0]它显然是线性相关的
所以仍然是无法保证系统的能控性
所以按照判据 它是不能控的
-线性系统理论的一个有趣应用
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