当前课程知识点：线性系统理论 > 第四周（第二部分：线性系统的时域理论）：状态变量的能控性和能观性（一） > LST3-2-7 能控性与能观测性的判据（七） > 视频
我们前边都是在讨论状态的能控性
那么对于状态的能观性我们概念定义也介绍过了
下面我们就来看一下能观性的具体的判据
好处是什么呢
能观性的判据在推导的时候跟能控性有很多的类似之处
所以在这个地方
主要是对一些主要的结论给以介绍然后给一些例子
对于它的证明过程我们就不做详细的推导了
能观性判据最直接的也是这个模态判据
这个模态判据仍然是假定这个系统矩阵A具有对角的形式
这个时候根据输出来推测内部状态的可行性呢
那么很自然由于你是知道y来推测x
所以这里边真正起作用的是C矩阵
一般的来说在判据里对B假设为0或者我们对B是忽略的
我们只是关心它A和C之间的关系
那我们不妨呢
就假设A转换出来了以后新的坐标底下它是对角形式
B设为0
然后输出方程也是一个新坐标底下的形式
我们重点来讨论一下
就是模态判据对于能观性是怎么来叙述的
它的结论是对应于每一个状态
相应的C那一列的如果不是全0的
那我们就可以判定这个系统是完全能观的
也就是根据输出的测量是可以推测
系统的相应的初始状态的分量的
每个分量都可以推测出来
这个里面我们把它做一个简单的分析
这不是完整的推导
我们可以看出来如果你写成分量的形式
那么把这个状态方程和输出方程都写出来
你经过一个简单的比对
你会发现y(t)在零输入的响应里边是e^(At)的表达式
最后由于系统的e^(At)是一个对角形式
所以直接都可以写出来的
那我们这样就可以分析了
就是我通过y(t)的一系列
不为0的系数怎么把x_0的分量给组合出来
在这里边就是要看状态之间有没有耦合
所以我们的分析简单的就是
直接由输出来推这个x_0每个分量
那我们来看只要相应的那一列不是全0的
我们就根据某一个y的分量至少
我们就可以把相应的x初始值那个分量给确定下来
这就是我们所说的模态判据
我们下边给了两个计算的实例
一个对角型的A矩阵里边-1 -2 -3是对角线
然后y是有3列0 4 5 那是个单输出系统
对输入这部分我们没有关心
我们就知道它是一个单输出系统
A的第一列对应于第一个模态的那个分量是0
所以我们没办法根据y去推测x_1的初始值
所以它不是完全能观的
那么b)这个例子里边我们看到它是一个双输出的例子
有3列
当然这3列恰好都不是全0的
也就是说你不管令y_1或者y_2或者它的组合
你总能够
把对角型里边的每一个分量的初始值可以确定下来
这是我们对于可以对角化的情况这个模态判据
我们模态判据下边这个例子啊
就是如果我们给出一个非对角型的
那么我们下边可以对它进行对角化
同样是求出特征值进行相似变换
我们把这个变换阵T
通过属于特征的特征向量给它计算出来
这个T就是[-5 1;1 1]这样一个形式
我们可以给出变换以后的这个输出矩阵C变换成了
[3 0]的形式
原来的系统经过对角标准化
就变成了这样一个形式(见PPT)
这样一旦对角化了以后就可以看出来
这个系统由于它有这个C的某一列是全为0的
所以相应的这个模态它是不可观的
我们这个模态判据也是要讨论A是有重复特征值的情况
类似于能控性我们给出能观性的模态判据
当我们可以进行约当标准化的时候
它的判据就是假定A是写成约当块的形式
那么相应的也是讨论和C之间的关系
这个时候
我们要求就是每个约当块的第一列它不应该等于0
如果它的第一列等于0的话
那么这个系统是不能观测的
这个道理是类似于能控性判据里也是模态判据里的分析
我们在这就不展开了
当然如果你有相同的特征值
同样也是要讨论一下非0的这些列是不是线性相关的
这一点呢是这样的
下边我们通过一个三阶的例子
来给大家说一下怎么用这个判据
我们给出的是3*3的一个约当块的例子
这里边y是一个3*3的矩阵 也就是3个输出的情况
那我们就可以把零输入情况下的这个解
写成对初始条件的一个依赖关系
在这里就是展开以后我们会发现这个要求啊
我们要求在第一列不为0的话
就可以看出来
我们要根据y来推断这个系统初始状态的时候
如果第一列为0的话
我们是根本没办法确定这里边的这些状态的
那么下边给一个数值的例子
刚才给的是一个概念性的框架
那么这个数值例子呢有两部分
一个a)部分呢是给的两个约当块
一个是以2一个是以-2作为它的特征值的
那么相应的我们就对输出矩阵做一个划分
我们把它分成前3列是一个块后两列是一个块
由于我们要求首列是非零的
我们就来看一下
对于第一个约当块
输出矩阵里边的第一列是1 0 它是非0的
对于第二个约当块C里边的首列是0 1
也是非0的
所以我们知道这个系统是完全能观的
对第二个例子B这一块呢我们看到它这里边有两个约当块
属于4的这个特征值的约当块
它这里边的第一列是全0的
所以这个例子里边它不是完全能观的
我们刚才已经提到了
如果说属于相同特征值的约当块的话
那我们考虑3这种情况
属于相同特征值对应约当块的
C里边的首列它是需要保持线性无关的状态
这个我们就不举例子说了
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