当前课程知识点：线性系统理论 > 第六周（第二部分：线性系统的时域理论）：线性反馈系统的时域综合（一） > LST4-1-2 状态反馈与输出反馈（二） > 视频
同学们好
我们这一部分 来学习一下输出反馈
前面我们学习的状态反馈的基本的概念和性质
现在我们看一下什么是输出反馈
那么从这个系统的这个结构框图上 大家很容易看到
输出反馈和状态反馈的一个基本的区别
就是它信号从哪里引入的 这个是不一样的
状态反馈的信号是从它的状态这个节点来引出来
而我们输出反馈
它是直接从我们输出变量引出这个反馈信号
经过一个线性变换F以后 引入到我们这个输入端
所以说这是我们一个静态输入反馈的构成
和我们前面一样 我们这里面静态的定义
就是意味着我们这个反馈信号
它是只依赖于我们输出变量的当前时刻的值
如果我们这个反馈变换 这个F变成了一个动态系统
而不是一个常数矩阵时候
这就形成了一个动态的输出反馈
那我们知道 输出反馈 常常用于当这个状态反馈
它没有办法应用的时候
比如说 我们这个状态反馈
很多的这个状态反馈变量没有办法直接测量
比如说一个典型的例子
比如说我们在这个控制电机的时候
我们知道的重要的一个状态量
就是我们电机的这个绕组的磁通
那这个磁通量 是我们测量起来非常不方便的
而且即使能够测量 它的误差会很大
所以这个时候
我们就没有办法去得到所有的状态信息
而只能够利用我们得到的电压电流的信息
来进行一个输出的反馈
或者说 在有些情况下
即使我所有的状态信息可以完全测量得到
但是我为了测量这些完全状态信息
所需要的传感器的这些成本很高
那这时候 我也希望
如果输出反馈能够达到我这个性能指标要求下
我尽量的不用状态反馈
这时候 我们也需要考虑这样一个输出反馈问题
我们来看一下 输出反馈的一个数学描述
比如说我们现在这个受控对象
还是我们前面非常熟悉的
这样一个ABC矩阵这样一个标准描述
x一点=Ax+Bu y=cx(t)
那这时候 输出的反馈控制律和我们前面状态反馈率类似
只不过 这里面的kx(t)换成了Fy(t)
也就是说 我反馈的信息是依赖于输出而不是依赖于全状态
这里面 F是我们的反馈系数矩阵
根据我们的习惯
我们是习惯把这个反馈理解成一个负反馈
所以这里面 我们还是采用一个负号 在F矩阵的前面
那么把这个反馈控制律这个关系
代到我们这个受控系统状态方程以后
我们就可以整理得到一个闭环系统 一个状态方程的描述
那这里面 我们这个输入
由原来的u(t)换成了我们新的参考输入v(t)
这时候我们的系统的系数矩阵A
由于反馈的引入就变成了A-BFC这个矩阵
所以同样类似 就是我们这个时候
从这个参考输入v到输出y的这个传递函数矩阵
就变成了C(sI-A+BFC)逆乘以B这个传递函数矩阵
我们也容易看到
就是由于我们这个反馈的存在 F这个矩阵的引入
它改变了我们系统的这个特征值的分布
或者系统的极点的分布
所以新的反馈系统的结构特性
就由我们这个新的系数矩阵A-BFC 它的特征值来决定
所以说 这就是我们输出反馈系统的一个描述
所以大家可以看到 那这个描述和它的推导
数学描述和我们的状态反馈是非常类似的
或者从另外一个角度 实际上一个输出反馈
可以等价成一个状态反馈 为什么
就是如果我们看这个输出反馈控制律
u=Fy(t)+v(t)的时候
那如果我们把这个y(t)
用我们这个输出的表达式y=cx(t)把它代进去
我这个u(t)就等价的变成一个-Fcx(t)+v(t)
那这时候 这个输出反馈就可以看成一个状态反馈
这时候对应的状态反馈矩阵
就是FC这个矩阵
所示说 我一个输出反馈
实际上就是一个特殊的状态反馈
但是反过来不一样
不是说我每个状态反馈都能够等价成一个输出反馈
除非大家看这个矩阵 就是如果我们现在知道一个k矩阵
如果k=f这个方程 如果f这个矩阵有解
那这时候我可以把这个状态反馈等价成一个
以F为输出反馈系数矩阵的这样一个输出反馈
否则的话 一般来讲
一个状态反馈不可能等价于一个输出反馈的
那同样的我们可以也可以分析一下
输出反馈对系统的能控性和能观性
它有什么样的影响
那么首先第一个 能控性
这个大家应该很容易理解
因为我们前面这个分析到
我们一个状态反馈是永远不可能改变系统的能控性的
那我们输出反馈 我们知道
它实际上就是一个 可以等价成一个特殊的状态反馈
所以说 如果状态反馈不改变系统能控性
那输出反馈肯定也不改变系统的能控性
所以这一点 大家非常容易理解
那对于能观性 我们知道 状态反馈
它是有可能改变系统能观性的
那输入反馈它是不是可以改变
那这点我们对于这个结论
是输出反馈 它的能观性也是不能改变的
那为什么不能
我们可以去考察一下它的能观性判别矩阵
这里面 我们把这个开环系统
和闭环系统的能观矩阵 分别写出来
我们知道 这个能观性矩阵的构成是
第一行写成C 第二行写成CA 一直写到CA的n-1次方
那引入这个输出反馈以后 我们的这个A矩阵
就变成了A-BFC F矩阵是我们这个输出反馈系数矩阵
那我们分析一下这两个能观性判别矩阵秩的关系
如果我们能够证明这两个矩阵的秩是相等的
那也就证明了 我们输出反馈
是不改变系统的能观性的性质
那怎么来看
实际上同样道理 我们一行一行的看
首先看第一块 那这两个能观性矩阵的第一行都是C矩阵
这是一样的
那从第二行开始看
我们Qo的这第二块是CA Qof的第二块是CA-BFC
那这个是一样的道理 和刚才这个能控性分析是一样
这是我们把这个CA CA-BFC分成两块
一个是CA-CBFC 这样两个矩阵
那我们可以看一下 那这个CA这个矩阵
它每一行 实际上就和我们Qo里面CA里每一行是一样
那我们的这个CB*FC
这一行 它实际上是可以表示成什么
因为我们这个CBFC实际上可以写成C*BFC
它的这样一个矩阵相乘
所以这个矩阵每一行实际上是C矩阵的
各个行向量的一个线性组合
所以说 我们这个QF 前两块 它的所有行向量
实际上我们就可以表述成为Qo的前两块
C和CA这两个矩阵的
它的行向量的一个线性组合
那同样道理 那我们这个逻辑 可以一直推广下去
也就是说 我们最后可以证明Qof这个矩阵n块
所有的这些行向量
都可以表示成Qo的所以行向量的一个线性组合
所以说 这样我们就可以证明
Qof矩阵的秩肯定不会大于Qo这个矩阵的秩
那同样的逻辑 就是如果我们把这个反馈这个系统
看成一个控制对象
那对这个控制对象引入一个反馈系数矩阵为-F的
这样一个输出反馈
那我们可以看到 在这个输出反馈下面
这个闭环系统正好就是我们原来的这个控制对象
所以说 这样我们用同样的逻辑可以证明
这时候 我们这个Qf矩阵的秩就不小于Qo这个矩阵的秩
那这样两边一加 我们就可以证明
Qof矩阵的秩和Qo矩阵的秩就是一样的
这样我们就证明了那么输出反馈
不改变系统的能控性 也不改变系统的能观性
那在第二个这个性质方面
它是和我们这个状态反馈是有很大的区别的
我们这一部分内容呐 就介绍到这里
-线性系统理论的一个有趣应用
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