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我们这节课讨论一下线性控制系统可以动态解耦的条件
假如我们现在有一个控制系统
它的状态空间描述是(A b C)
这是我们非常熟悉的一个模型
(A b C)是这个系统的系数矩阵
如果这个系统可以通过一个包含输入变换的状态反馈
可以解耦的充分必要条件是什么呢
这里面结论很简单
就是如果我们定义了
这个系统对应于p个输出的结构特征向量
如果把这几个结构特征向量一次排成一个矩阵
这个矩阵称为E
那么这个系统可以状态反馈解耦的充分必要条件
是这个矩阵是非奇异的
我们下面来看一下怎么样去证明这样一个结论
首先我们来证明必要性
假设存在这样一个反馈控制律u=-kx+lv
使得闭环系统是动态解耦的
那么这个闭环系统的传递函数矩阵一定是一个对角矩阵
这个时候我们根据结构特性指数的频域的定义
这个应该等于什么呢
就等于我们这个闭环传递函数每一行 比如E的第一行
传递函数矩阵的第一行乘以s^d_1+1 s趋近于无穷
那同样道理呐 我们在这个d_p行 也是乘以s^d_p+1
再乘以相应的传递函数矩阵
相应的传递函数让s趋近于无穷
那这样大家就可以看到
这个时候我们在闭环系统矩阵E~
E~就表示成一个这个样 那这个样子是什么呐
就是实际上也是一个对角形式 E~就是一个对角矩阵形式
其中它的对角元
是我们在这个矩阵所列出的 s^d_1+1*g_11(s)
s趋近于无穷
一直到s^d_p+1 g_pp(s) s趋近于无穷
那我们知道呐
根据我们这个结构特征向量的定义
我们知道呐
这里面我们E~的每一行都应该是非零的
否则如果是零的话
那么结构特性指数就应该还要再加1 不应该是这么小
所以当s趋近于无穷的时候呐
每一行都应该是一个非零的向量
那每一行都是非零的向量 因为我们这一行里面
只有对角元素可能是非零的
所以这个对角元素一定是非零
所以这个时候呐
E~它每一个对角元素 它是一个对角矩阵
它每一个对角元素也都是非零的
所以E~肯定是一个非奇异矩阵
那所以这个时候呐
由E~和我原来这个开环系统对应的矩阵E
它之间的关系 我们知道它之间存在一个变换关系L
由E~是非奇异的
而我们这个L变换矩阵也是非奇异的
所以E肯定也是非奇异的
所以这样我们就可以证明这个必要性 也就是说
如果这个系统
可以用这样一个动态反馈控制律动态解耦的话
那这个时候对应的矩阵E肯定是非奇异的
那下面我们来看一下充分性怎么去证明 充分性的证明
实际上我们也可以用一个构造的证明去证明
这个证明和书上的证明不太一样
这里面呐实际上是给出一个更为直观的一个证明
大家呐 回去时候 可以和书上的证明几乎相比照
我们这边怎么证明呢
假如我们现在定义输出变量
我们知道有p个输出
其中第i个输出y_i=C_i*x C_i是系数矩阵C的一个向量
那如果我们对第i个输出函数去求导
比如我们求一次导
那我们很容易就可以得到它的一个表达式
C_i*x对它求导就是C_i乘以x的导数
x的导数根据状态方程的定义diff(x)=Ax+Bu
所以这时候我们就可以把它拆成两项 C_i*Ax+C_i*Bu
根据结构特性指数的定义
如果结构特性指数是d_i 比如说d_i是大于1的
这时候C_i*B这个向量就应该是0
所以在y_i的一阶导数里面呢
我们最后就剩下一下C_i*Ax
那因为这里面它不包含输入函数的话我可以继续对它求导
我对y的一阶导数求导就变成y的二阶导数
同样道理就变成C_i*A*diff(x)
我把diff(x)=Ax+Bu代进去以后
展开就变成了C_i*A^2x+C_i*A*Bu
同样道理如果结构特性指数是大于2的
那么C_i*A*Bu也应该是等于0
所以最后还是剩下了一个x的线性组合C_i*A^2x
所以同样道理就是我如果对输出函数一直求导下去
就会发现它一直可以求导到第i次方呢
这时候我们方程的右边是不会出现输入的函数
但是到了y_i的第i+1次方的时候
就变成了C_i*A^（d_i+1)x+C_i*A^（d_i)*Bu
根据结构特性指数的定义C_i*A^（d_i)*Bu是非零的
这时候y_i的第i+1次导表达式
就变成了这样一个线性组合
所以我们就把最后一个这样的表达式
挨个排列起来就是y_1的第1+1次方到y_p的第p+1次方
把它列成一个列向量
我们就可以得到
它等于x的一个组合加上u的一个线性组合
其中x前面的系数矩阵
就是y_i的第i+1次方的x前面的行向量
C_i*A^（d_i+1)依次排列起来
u前面的系数矩阵
一样C_1*A^（d_1)*B一直到C_p*A^（d_p)*B
可以发现实际上u前面的系数矩阵的每一个行向量
就是我们定义好的结构特征向量
这个结构特征向量组成的这个矩阵
就是我们在充要条件里面定义的E矩阵
如果把x前面的系数矩阵叫做F的话
简单的就叫做Fx+Eu
如果把Fx+Eu定义成一个v向量的话
这时候我们只看这组方程的最左边和最右边
这时候y_1只由v_1决定
y_2只由v_2决定
y_p只由v_p决定
v_1不会影响y_1以外的其它变量
这时候就可以看到
从v到y输入输出关系上看这就是一个解耦的系统
控制是一对一的
实际上这里面v就是我们所需要的新的参考输入
所以把Fx+Eu=v这个方程稍微整理下
整理成我们熟悉的状态反馈的形式就可以看到
我把u表示成x和v的函数
这就是u=-(E^-1)(Fx)+(E^-1)v
这就是我们以v为新的参考输入
以(E^-1)(F)为反馈系数矩阵
(E^-1)为变换矩阵L这样一个状态反馈控制律
从证明过程中可以看到
在这个状态反馈控制律下面这个系统就实现了解耦
当然这个解耦需要什么条件呢
需要E这个矩阵是可逆的
只有当这个E是可逆的
我们才可以从这里面得到这里面写出的状态反馈控制律
所以这里面我们就得到了
一个状态反馈可解耦的充分必要条件
那下面我们来讨论下
就在这个状态反馈控制律下面
实际上闭环控制系统化成了一个非常特殊的系统
我们叫做积分型解耦系统
这个时候系统的闭环传递函数矩阵是一个对角矩阵
而且每一个对角元都是若干个积分环节的串联
1/s^(d_i+1)
这是一个典型的积分型解耦系统
所以它的物理上的实现是由若干个积分器构成的
但是我们知道由积分器构成的系统
它闭环系统的所有极点都是在原点
这个时候系统它不是渐进稳定的
而且在原点的极点的重数多了以后
这个系统反而是不稳定的
这样的系统在工程上讲是不能接受的
所有说如果我们把闭环系统综合成这样的话
我们还是不能达到我们所满意的目标
我们还需要进一步的对系统进行改造
进一步改造实际上就变得容易的多了
我们在进一步再引入
对每一个单输入单输出系统引入状态反馈
把对应的这些闭环极点在原点的极点
配置到希望的极点上就可以了
所以最重要的一步是
我们要把通过状态反馈
先把系统变成一个解耦的系统
然后在此基础上进行进一步的极点配置
各方面的配置
或者其他系统综合的办法
好这节课就到这里
-线性系统理论的一个有趣应用
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