第6节 动态产能扩张模型在线视频

接下来我们看一个产能扩张的计算的模型

这个模型是在大约50年前提出来的

它假设的情况就是

顾客的需求是持续的稳定的增长的

那么我们这个企业就要看看

我要过多长时间

建一个多大规模的工厂

才能够比较好的满足顾客的需求

那么这里边是基于一个什么问题呢

因为建厂的规模不同

它建厂的成本跟这个规模并不是成正比的关系

另外呢我晚一点建这个工厂

如果能晚一点投资

大家知道金钱有它的时间价值

3年后的一百万

和今天的一百万是不等值的

我们希望这个建厂的时机越晚

对于我们来讲实际上是越省钱

有这个考虑然后我们就来看看

怎么样选一个合适的时机

建一个多大规模的工厂

在这里面我们定义D表示市场上

每年的需求的增长量

我们想知道

建成下一个工厂的时间间隔到底取多少合适

我们这个设为x作为未知数

作为这个未知的变量

那么金钱的时间价值用一个贴现率来计算

是要运用在经济学里面用连续复利

来进行计算的

比如说现在你找银行贷款利率是5%

年初的一万元就相当于年底的一万零五百块钱

如果是我们到明年初投入一万零五百块钱

就相当于今年初你投入一万块钱了

这就是一种贴现的算法

就是把未来的金钱折合到今天它的现值是多少

比如我们30年后的一万块钱

折合到今天的话

没准可能只有一两千块钱

那么在未来的无限长的时间跨度内

如果说比如我们一百年后建一个工厂

折合到今天的钱就没多少钱了

这是这个计算金钱的时间价值的

这种贴现率的算法

那么另外呢刚才我们说到

建厂的成本跟建厂的规模不是线性的关系

一般来说规模越大

由规模经济效应决定了

单位产能的建厂成本会变得越来越小

这样我们就要推算每次建厂

因为是隔x这么长时间

建一个新工厂每年会增加D这么多

如果我们隔了x年建了一个新工厂

它必须满足未来x年增长的这个产能

这就是xD

而我们在x年之后建这个工厂

那个时候要投一美元

折合到现在相当于多少钱呢

就是用这个连续复利的贴现率来倒推回来

今天的价值是e^(-rt)这么多钱

这是我们在一般经济学里边

大家都学过的这个道理

那么现在我们就看如果在t=0的时候

我们投入建设了第一个工厂

开始可以使用了产能已经建立了

过了x年

第二个工厂建成了

过了2倍的x年

第三个工厂建成了 以此类推

我们第一个工厂花了f(xD)这么多钱

那么第二个工厂呢

在x年之后花了f(xD)这么多钱

每1块钱折合成e^(-rx)

所以我们来看看

如果在未来的无限长的一百年甚至一万年里头

我们比如每隔5年要建一个工厂

如果x=5的话我们当前建的第一个工厂

花的成本是f(xD)

我们5年后建第二个工厂

就是e^(-rx)*f(xD)

然后十年之后建的第三个工厂呢

那就是两倍的过了两倍的时间

我们再贴现的时候要按两倍的时间计算

那就是e^(-2rx)*f(xD)

以此类推

我们在未来的一百年甚至一万年里边

累计建厂的总成本之和是多少呢

我们把这N次建厂的成本全加起来看一下

每次的固定成本是 f(xD)

第一次建厂乘上1

第二次建厂乘上e^(-rx)

第三次建厂乘上e^(-rx)2

第四次乘上e^(-rx)3

然后这么一直加下去

我们知道这个e^(-rx)

它本身是一个小于1的数值

咱们在学微积分的时候

大家都学过这个道理

对于一个小于1的数

如果是1加上这个数自己

加上它的平方加上它的立方加上它的四次方

一直加到N次方加到无穷次方

这个数的多少次方 就变得越来越小

它们的总和是一个级数

这个级数就等于

1/(1-这个数本身)

这个公式最开始看起来很复杂

到最后反倒比较简单了

分子上是f(xD)

分母里是(1-e^(-rx))

我们是希望

在未来的N年里头

我们所有的建厂总成本之和是最小化的

这个总成本出来了

怎么追求最小化呢

这里边我们看到还有一个f(xD)这个函数

这个函数跟你的建厂规模是有关系的

按照工业界一般的经验

这个建厂成本f(y)

如果说y是这个建厂的规模的话

我们一般来说可以用一个

固定的常数k乘上y^a来表示

在很多行业大家的经验都表明

a这个指数大概在0.6附近

所以工业界有这么个十分之六的说法

就说这个指数是0.6倍

按照规模经济的思路我们来看一下

如果我们建厂的时候把建厂规模翻了番

我们看看建厂成本会增加多少呢

我们来算算这个比例

在这个公式里边大家看到f(2y)/f(y)

把这个f(y)=ky^a代进去

k和k约掉了

y^a和y^a约掉了

那么剩下来的比例就是2^a

如果这个a是0.6的话

那么这个2的0.6次方就是1.516

约等于152%

换句话说就是当你产能翻番的时候

这个建厂成本并没有增加两倍

而只增加了52%左右

这是规模经济带来的经济效应

那么接下来我们把这个规模经济的效应

代到我们建厂成本的总公式

这个C(x)就等于

k(xD)^a/(1-e^(-rx))

这个总成本的式子我们看x有一个a次方

它在分母里边还在一个指数上

所以这个求解是一件很难的事情

我们就利用这个对数函数的单调特性

如果某一个函数

它的对数到了最小值了

这个函数本身肯定也到了最小值了

因为这里边有指数

所以我们就在公式两边都取一个对数

我们取这个总成本的对数

那么就等于

log(k)+alog(xD)-log(1-e^(-rx))

我们对这个对数成本函数要想找到最低点的话

那就可以求它的一阶导数让一阶导数等于零

我们看这个结果

推算完了的话

它的一阶导数等于a/x-r/(e^(rx)-1)

让它等于0

我们把这个等式来转换一下的话

把a放到右边把自变量x都放到左边

就变成了rx/(e^(rx)-1)=a

但是这个等式依然很复杂

在分子上x是线性的关系

在分母上x在指数里头我们怎么把这x给求出来

工程师们解决这类问题采取的办法就是数值算法

因为这个rx上边下边都有

我干脆定义这个rx等于某一个自变量u

我来算算u/(e^u-1)

当u等于不同值的时候

看看这个u/(e^u-1)能等于多少

我们把一系列的数值都算出来

画出这么一个曲线的图形出来

这样的话你就可以用查表的办法

或者用差值反求的办法

如果我们知道了这个函数的这个总值

知道了这个a的话我可以反求这个u出来

比如在这个图形里边我们看到

这个u/(e^u-1)如果等于0.6的话

你可以反求在这个曲线上对应的u

是零点几的那个点

我们通过一个例子来看一下

有一家化工厂

它正在进行产能增长的规划

按照化工行业的经验

新厂建设的成本是0.0107*y^0.62

也就是说在这里边

这个建厂的规模经济的这个a这个指数

它不正好是0.6比0.6稍大一点是0.62

而前边这个0.0107它是以百万为单位的

这个产能本身y是以每年生产多少吨为单位的

比如说我们建的这个化工厂

是年产两万吨这种化工材料

那么这个建厂成本

按照0.0107×20000吨的0.62次方

这样算出来就是4.97百万美元

将近500万美元

如果我们预期这种化工产品的

市场需求的增长率

在每年5000吨这个水平上

换句话说就是每年市场都会增加这么多

我们应该每隔多长时间建一个新工厂

这是我们的问题

当然在计算的时候

我们要考虑金钱的时间价值

这个未来的建厂成本如果按折现算的话

这个年利率我们按照16%的年利率来计算

我们知道

这个规模经济的这个指数a=0.62

我们就回到上一页的那个曲线里边去找

在u/(e^u-1)＝0.62的地方

对应的这个水平轴u这儿是多少

对应的就是u约等于0.9这个地方

那么在前面的公式里边

这个u就是xr

那么在这我们知道了u了也知道r了

怎么把这个最优的建厂时间间隔x求出来呢

就是用(u=0.9)/(r=0.16)

这样的话这个比值就出来了

是5.625年

也就说我们每隔5年半左右建一个新厂

这是最经济最合算的

那么每一个新厂的产能的规模应该是多少

就是这个建厂时间间隔

5.625年乘上每年的需求的增长速率5000吨

就每个新厂的产能应该是28125吨这个水平

当然我们也按照前面的公式能算出来

按照这样一个产能它的建厂成本

将是6.135百万美元

600万美元稍多一点

这是我们来确定最优化的建厂时机和建厂规模

当然这个模型假设的是比较理想化的

假设市场的需求是恒定的稳定的增长的

这个在现实中情况并不多见

所以大家如果想用这样的模型的话

一定要看清楚这个模型的假设

和你的实际的情况差距到底有多大

不能滥用模型

在进行实际的能力扩张规划的时候

我们制定策略要有很多现实的考虑

比如说一条生产线一个工厂建完了之后

它的周期寿命是有限的

比如说一个工厂它的设计寿命是50年

我们买一台设备这个机器的有限寿命可能是10年

过段时间你必须把机器设备做更新

另外关键的是市场需求的规律可能会变化

比如在我们这样一个发展中国家

大家都体会非常深刻

我们没法用10年前的市场需求规律

来预测未来10年后的需求规律

另外技术的进步也会影响经济的规模和成本

比如汽车行业大家都知道

现在的比较经济的生产规模

是年产量30万辆车左右

建这样一条汽车的生产线

大概需要四五十亿人民币

也许以后这种汽油车柴油车

我们以后不再生产了

以后都改成生产电动汽车了

没准电动汽车的经济生产规模

是一条线年产100万辆

而建厂成本可能只需要

比如20亿人民币

因为它不需要生产这个汽油发动机了

发动机太复杂了

另外跟政府的法规法律的要求也有关系

如果有些企业严禁某种有污染的产品

在这进行生产

或者说对用工制度对税收

它的政策有什么变化了

可能会影响到我们的产能决策

另外我们的一些间接成本

税收的激励都会对我们的产能决策有重大的影响

这些现实的问题我们不得不考虑

关于产能决策的这些因素和模型

我们就先介绍到这

下面我们来简单回顾一下这一讲的内容

首先我们介绍了

产品和制造流程的生命周期现象

然后可以利用这个产品和流程的矩阵

来判断我们的决策是不是基本合理

接下来呢我们学习了学习曲线

和经验曲线这两种效应

它是一个问题的两个方面

是一个熟能生巧的过程

是一个越做越熟练的过程效率提高的过程

我们怎么样把这个效果

运用到我们的生产战略的决策里头来

然后在生产能力扩张规划的过程中

有哪些基本的判断

我们是自制还是外购

我们怎么样利用规模经济和范围经济

怎么样用这种动态的产能扩张的模型

来帮助我们决定最优的建厂的时机和建厂的规模

关于战略和竞争我们就讨论到这儿

谢谢大家