当前课程知识点：生产计划与控制 > 第七章 针对确定性需求的库存控制（2） > 第3节 EOQ模型用于生产计划 > 第3节 EOQ模型用于生产计划
下面我们来看一下
怎么样把经济订货批量的模型
应用在生产计划中
我们先假设一个比较简单的情形
如果我们在一台机器上生产多种产品
我们知道每种产品的需求和生产的速率
在这儿呢
我们用λ_j表示第j种产品
它的需求速率
用P_j表示在这台机器上的生产的速率
用h_j表示这样的产品生产出来之后
如果说一件产品存了一个单位时间
它的库存持货成本
我们用K_j来表示
如果说前边生产别的产品
要转换成生产这种产品
这个生产转换的准备的成本
用K_j来表示
我们的目标是希望确定
在这个机器上
来顺序的轮番生产这n种产品
我们应该每种产品的批量是多少
是最经济的
我们是希望让持货成本
和生产准备成本之和最小化
而且希望确保在这个
轮番生产的循环周期里头
各种产品都能够满足客户的需求
不出现缺货的情况
在这个问题的模型里边
有这样一些假设
首先我们要确保机器的产能是足够的
能够满足所有产品的产量需求
用一个公式来表达的话就是这样
对于这n种产品
j从1到n它的需求率
λ_j与生产率P_j的比例
所有这n种产品的这个需求率
与生产率这个比例之和
应该是≤1的
换句话说
就是这台机器轮番的生产这n种产品
能够满足这些产品的所有的需求
都没有问题
举个例子来说
看个简单的情况
如果说我只有两种产品
这两种产品它的需求速率是一样的
生产速率也是一样的
那么我们就要求P_1应该≥2λ_1
并且P_2也要≥2λ_2
或者换一种形式来表达
就是λ_1/P_1应该是≤0.5的
λ_2/P_2也应该是≤0.5的
大家可以想想
如果这两个比值有一个超过0.5
那么加起来就超过1了
就不符合我们产能的这个基本要求了
所谓的这个轮番生产的策略指的是
在一个循环周期里头
我们每种产品只生产一回
我们只给它做一次生产准备工作
然后在不同的循环周期里头
我们是按同样的顺序
来生产这n种产品
在我们想计算一个优化的生产批量的时候
我们首先按照单品种的产品来考虑
看看能不能给它找出一个
优化的批量出来
然后尝试着安排这些独立的
各自优化的批量
来进行顺序的生产
比如对产品j来讲
它的经济生产批量
按照上节课我们学过的
用一个修正了的库存持货成本h＇_j
它是等于原始的那个h_j
乘上一个修正系数1-λ_j/P_j
这是一个修正了的持货成本
那么我们可以算出这种产品
它的经济生产批量就是Q_j
是√2K_jλ_j/h＇_j
这个修正了的持货成本
但问题是你只有一台机器
而且每个循环只能生产一批
如果你这个Q_j
不能满足在这个循环周期里边
顾客的需求的话
那就会出现缺货的情况
这就不是我们希望看到的了
所以对于一个循环周期T来讲
因为每种产品只能生产一回
我们要满足这个产品的需求的话
那么这个Q_j就应该等于λ_j*T总长度
就是要在T这个周期里头
我们满足λ这个需求的速率
然后我们来计算
这种产品它的年度平均成本
这个Q_j=K_jλ_j/Q_j+h＇_j·Q_j/2
一方面是它的固定成本之和
一方面是它的持货成本
这两个总成本加起来
我们希望年度的这个平均总成本是最小化的
刚才说的是一种产品
因为我们一共有n种产品
我们所有产品的年度平均总成本
全加起来就是把刚才那个
单种产品的总成本的式子
给它做一个加和
j从1一直加到n
这就是我们把这个G（Q_j）来做一个
j从1到n的这样一个加和
这就是我们的第一个式子
其中我们知道T和Q_j和λ_j
有满足需求这样一个关系
我们把T=Q_j/λ_j
代到刚才这个总成本的式子里头去
这个中括号里边的内容就变成
第一项是K_j/T
第二项呢就是h＇_j·λ_jT/2
这样的话
这个总成本就变成了一个
总循环周期长度T的函数了
那么这个函数
我们怎么求它的最优解呢
我们求它相对于T的一阶导数
让这个一阶导数等于0
这是大家在第三个式子里头看到的
我们让G(T)对T来求一阶导数
令它等于0
对应的就是总成本最低的这个点
这样优化计算的结果
就是我们这个最优化的循环周期T
我们用T*来表示
就是根号下的这样一个比值
是2K_j之和 除以这个分母里的h＇_j λ_j之和
这个结果看起来也还比较规整
这样的话我们就可以知道
这个最优化的循环周期长度是多少
然后你就在这个周期里边
按照需求量轮番给它生产就可以
另外一件事情
我们要考虑
从一种产品转换到另外一种产品
它需要一个生产准备的时间
这个生产准备的时间
我们用s_j来表示
表示set up做生产准备工作
需要一定的时间
所以对每一个产品来讲
它占用机器设备的时间实际上是
一个生产准备时间s_j
再加上一段生产时间
就是Q_j/P_j
就是产量除上生产的速率
这是准备时间加生产时间
这是生产这种产品用的时间
一共有n种产品
那么这n种产品的这个总时间之和加起来
不应该比你那个总的循环周期长
所以就是小于等于T
这是一个基本的约束条件
如果我们把前边知道的
Q_j λ_j和T的关系代进去
我们用λ_jT来代替Q_j的话
刚才的这个关于时间的公式
就变成了从j=1到n
这个里边的子项是s_j+λ_jT/P_j
各个产品的这个准备时间
加生产时间之和全加起来
也不应该大于这个T
应该小于等于这个T
所以我们这样的话就得到一个概念
在刚才这个不等式里边
大家看小于等于号右边有个T
但是左边这个累加和这个部分里边也有个T
这就相当于一个以T为变量的
这样一个不等式
我们把这个不等式做个求解
就变成了下一个公式
就是循环周期T它应该满足这样一个条件
T应该大于等于这样一个比值
这个比例的上半部分 分子的部分
是各个产品的生产准备时间之和
就是那些s_j之和
让分母是1减去
所有的真正的加工生产的时间之和
就是λ_j/P_j这个比例之和
所以这个循环周期T
应该大于等于这个数
我们就把这个数给它一个特殊的记号
我们就叫它T最小
T minimum
我们用min表示这个最小可能的T
不能比这个更小了
如果比这个小的话
那你就没有时间去做生产准备去了
-第1节 生产系统
--第1节 生产系统
-第2节 生产运营管理概述
-第3节 课程内容
--第3节 课程内容
-第1节 企业使命与运营战略维度
-第2节 运营战略视角
-第3节 全球化竞争
-第4节 战略举措（1）流程再造与准时制
-第5节 战略举措（2）基于时间与质量的竞争
-第一章测试 战略与竞争（1）
-第1节 产品与制造流程的生命周期
-第2节 学习曲线
--第2节 学习曲线
-第3节 经验曲线
--Video
-第4节 生产能力扩张规划
-第5节 产能扩张策略
-第6节 动态产能扩张模型
-第二章测试 战略与竞争（2）
-第1节 预测及其特性
-第2节 主观预测方法
-第3节 客观预测方法
-第4节 预测误差
--第4节 预测误差
-第5节 移动平均法
-第6节 指数平滑法
-第三章测试 需求预测（1）
-第1节 回归分析
--第1节 回归分析
-第2节 Holt法
-第3节 季节因子
--第3节 季节因子
-第4节 移动平均分解季节性与趋势
-第5节 Winters法
-第6节 Winters法应用示例
-第四章测试 需求预测（2）
-第1节 综合计划及其综合单位
-第2节 综合计划问题
-第3节 综合计划的成本因素
-第4节 综合计划应用示例
-第5节 追踪策略（零库存计划）
-第6节 固定劳动力水平计划与混合策略
-第7节 线性规划解算综合计划问题
-第8节 线性规划应用示例
-第五章测试 综合计划
-小测验 （第一章~第五章）
-第1节 库存的类型
-第2节 持有库存的动机
-第3节 库存系统的特性
-第4节 库存的关联成本
-第5节 经济订货批量（EOQ）模型
-第6节 考虑订货提前期的EOQ模型
-第7节 灵敏度分析
-第8节 有限生产速率的经济订货批量
-第六章测试 针对确定性需求的库存控制（1）
-第1节 全量折扣模型
-第2节 增量折扣模型
-第3节 EOQ模型用于生产计划
-第4节 多品种轮番生产计划示例
-第5节 ABC分类库存控制
-第七章测试 针对确定性需求的库存控制（2）
-第1节 随机性需求与优化准则
-第2节 报童模型
--第2节 报童模型
-第3节 报童模型的扩展应用
-第4节 (Q, R)库存控制方式
-第5节 (Q, R)模型期望成本计算
-第6节 (Q, R)模型年度总成本计算
-第7节 (Q, R)模型应用示例
-第八章测试 针对不确定性需求的库存控制（1）
-第1节 (Q, R)库存控制方式下的服务水平
-第2节 针对第二类服务水平的最优(Q, R)策略
-第3节 估计提前期内的需求波动
-第4节 周期性观察库存控制及其服务水平
-第5节 交换曲线
--第5节 交换曲线
-第九章测试 针对不确定性需求的库存控制（2)
-小测验 （第六章~第九章）
-第1节 生产计划体系
-第2节 MRP分解计算
-第3节 生产批量规划（1）
-第4节 生产批量规划（2）
--Video
-第5节 批量规划与分解计算结合
-第6节 生产能力约束下的批量规划
-第7节 生产计划改进
-第十章测试 物料需求计划
-第1节 车间作业调度问题
--车间作业调度问题
-第2节 车间调度术语
--车间调度术语
-第3节 排序规则及应用效果
-第4节 车间管理目标讨论
--车间管理目标讨论
-第5节 单机排序理论
--单机排序理论
-第6节 延误工件数量最小化
-第7节 考虑紧前约束的Lawler算法
-第十一章测试 作业调度(1)
-第1节 双机调度问题
-第2节 约翰逊法则
-第3节 三机调度问题
-第4节 双工件流水车间调度
-第5节 多机调度（1）：帕尔默法
-第6节 多机调度（2）：CDS法与关键工件法
-第7节 随机调度（1）：单机问题
-第8节 随机调度（2）：双机并行加工
-第9节 随机调度（3）：双机流水车间
-第十二章测试 作业调度(2)
-小测验 （第十章~第十二章）
-第1节 精益生产原理
--精益生产原理
-第2节 大量生产与精益生产对比
-第3节 看板管理（1）：看板类型与用途
-第4节 看板管理（2）：如何运用看板
-第5节 看板管理（3）：看板数量与规则
-第6节 生产均衡化
--生产均衡化
-第7节 缩短生产过程时间
--缩短生产过程时间
-第十三章测试 精益生产（1）
-第1节 缩短生产准备时间
--缩短生产准备时间
-第2节 标准作业
--标准作业
-第3节 柔性生产（1）：U形线
-第4节 柔性生产（2）：多能工
-第5节 自主化质量控制——自働化
-第6节 现场管理（1）
--现场管理（1）
-第7节 现场管理（2）
--现场管理（2）
-第十四章测试 精益生产(2)
-第1节 经营目标与运作绩效指标
-第2节 瓶颈分析
--瓶颈分析
-第3节 OPT的九条原则（1）：围绕瓶颈同步生产
-第4节 OPT的九条原则（2）：加工与转运批量
-第5节 TOC的五个步骤
--TOC的五个步骤
-第6节 “鼓、缓冲和绳索”
-第7节 生产什么品种？
--生产什么品种？
-第8节 每种生产多少？
--每种生产多少？
-第十五章测试 约束理论
-第1节 制造企业面临的各种变动
-第2节 应对订单变动（1）：精准预测与产能调节
-第3节 应对订单变动（2）：快速转换与订单合并
-第4节 应对劳动力变动（1）：入职测试与岗位匹配
-第5节 应对劳动力变动（2）：适应型生产线平衡
-第6节 应对劳动力变动（3）：动态平衡与激励机制
-第7节 应对物料供应变动（1）：采购管理与供应商管理
-第8节 应对物料供应变动（2）：物料管理
-第十六章测试 制造企业应对变动
