第2节 报童模型在线视频

下面我们回到迈克的报摊

这个典型的报童问题的例子

对于《计算机》周刊来讲

我们根据历史的数据显示

顾客的需求基本上是按照正态来分布的

它的样本的均值是11.73

样本的标准差是4.74

这个周刊购进的单价是两毛五零售价是七毛五

这是两个价钱

还有一条呢就是如果说

有买进来的周刊卖不出去

退给供货商

他还能给咱们一毛钱1本

这是相关的几个成本

那么我们来看看

如果知道了平均的需求是将近12本

我们凭直觉就很容易想到

是不是我每礼拜初

就买12本这个《计算机》周刊杂志

等着慢慢的把它卖出去就完了

这是个优化的策略吗

如果你算算账

就会发现问题就来了

如果我们每周初的采购量

就是取这个平均值12本的话

从正态分布上来讲

你取一个平均值就意味着

缺货的概率和超储的概率

是各50%它的频度是相同的

但是多买1本和少买1本这个后果是不一样的

如果我们多买了1本而没有售出的话

我们亏了多少钱呢

两毛五减一毛是一毛五

也就说你多买1本亏一毛五分钱

但是你如果少买1本

满足不了顾客的需求了

你有毛利润没有挣到手

那么这1本的毛利润

就是五毛钱50美分

所以我们看多买1本损失是一毛五

而少买1本呢是五毛钱

这中间差着两倍多呢

我们来看看凭直觉我们也知道我们应该倾向于

多买一点而不要让那个

少买发生的那个比较大的五毛钱的损失发生

所以从直觉的角度来讲

我们会得到这个结论

至于具体的计算

下面我们来看看

要推导一下这个问题的成本函数

对于报童问题来讲

每周期的成本

它是两个变量的函数

一个是顾客的需求到底是多少

它的值是个随机的

再一个呢就是你决定

在期初的时候你买多少货进来

这个决策变量Q是多少

那么我们要确定这个成本的期望值

和需求的概率分布的函数关系

然后来解算出一个最优的Q值来

使得我们这个期望成本最小化

具体算的话我们就得一点点来看

首先看如果是你某一期买多了货了

顾客的需求比较少

你手头会到期末的时候会存一些货

这个存货的量会是多少呢

我们用这个式子来表达

如果说你的进货量是比顾客需求少的

你手头不可能存下货所以存货量就是零

只有当你进货量大于等于顾客需求的时候

你才可能会有（Q-D）这么多存货的量

所以我们就可以用

max(Q-D,0)

它表达的意思就是在(Q-D)和0之间

我们取其大的取那个大的数

这是这个公式表达的意思

这样的话我们就知道每期末

我们手头会有多少存货

换一个角度来看

也可能你一期里面会有满足不了顾客需求的情况

这个缺货的量是多少啊

类似的我们也可以用这样一个

两项的表达式来表达

如果顾客的需求小于你的进货量的话

那这个没有问题肯定都得到满足了

所以就不存在缺货的问题缺货量就是零

但是一旦顾客的需求大于等于进货量Q了

那么满足不了顾客需求的缺货件数

就可以用(D-Q)来表达

在这个等式的左边我们就用这种方式来表达

max(D-Q)和0之间取其大者

用这两个公式我们就表达了每期末的

库存量或者是缺货量有多少

那么接下来我们就看

每期结束的时候

我的总成本有多少啊

这两种情况都有可能发生

如果是超储的话

每件的超储成本

我们用c_o来表示

o表示 Overage

就是进货进多了进超了

一件是c_o

你的可能的库存的量

就是max(0,Q-D)之间取个大数

这是超储的情况

如果欠储的情况

每缺一件你损失的成本

用这个 Underage cost

c_u来表示

c_u*max(0,D-Q)之间取其大者

这是超储成本和欠储成本

那么这个每周期的期望成本函数

因为顾客的需求D它是个随机变量

但是长期看起来它的期望值是个固定的数

所以它就不会是这个D的一个函数了

因为这是个期望值了

所以这个总的期望成本

只跟你的决策变量Q有关系

它是一个前面我们说的这个以Q和D

为自变量的每周期成本的一个期望值

在这里边这个具体的推导过程比较长

我们课程时间有限就不做具体推导了

我们直接把结论拿过来

在我们这一章的附录5-A这部分

有详细的过程

它的结论就是

这个总的期望成本

等于c_o乘上一个跟超储量有关的一个成本

那么这个超储量是用一个大积分给算出来的

从0积到正无穷

它是在（0 , Q-x）之间取大数

乘上概率密度函数沿着x轴取积分

从0积到正无穷

但是这里边我们看看

如果是x大于Q了

这个（Q-x)就变成一个负数了

所以说实际上从Q以上的积分是没啥意义的

所以我们看到这个下一步的等式

就把这个积分

从无穷积分变成了一个有限的积分

从0到Q之间我们来对

（Q-x）*f（x)来做积分就可以了

这是超储的成本的部分

类似的欠储的成本

等于单件欠储成本c_u

乘上我们总的这个期望的欠储量

这个量呢也是一个从0到正无穷的积分

它是在0和(x-Q)之间取其大者

乘上f(x)密度函数对x轴取积分

在这里边呢

是x小于Q的部分它是个负数

我们就不会取这个负数了我们就会取0了

所以这个积分呢就可以从Q积到正无穷就可以

这是总的期望成本是由期望的超储成本

和期望的欠储成本两部分来组成的

那么这个式子要想对Q

来做一个最优化的决策我们怎么做呢

它是Q的一个函数

我们可以取它的一阶导数让一阶导数等于0

就是这个成本的最低点

在这儿呢按照莱布尼茨法则

把一阶导数给它推导出来

虽然前面的成本的表达比较麻烦

但是在这儿这个一阶导数

倒是我们看起来比较眼熟

比如超储成本的部分

它的一阶导数是c_o乘上

对于1乘上f(x)你认为就是f(x)好了

在0到Q之间的积分

这个是什么意思啊

就是把我们顾客的需求的分布

从0到Q之间我们取一个积分

这个就是到Q这个点的累积分布函数

所以我们看下一步就是c_o*F(Q)

这是累积分布函数

那么类似的欠储成本这部分

我们看一阶导数在积分里头这部分

是从Q到正无穷的一个积分

这就是1减去那个到Q点的累积分布函数

当然要乘上个负号

是我们看结果反倒比较简单

就是跟我们这个顾客需求分布的累积分布函数有关

跟我们取的Q这个点有关系

为了确认这个期望总成本

能够有一个最优化的最小值

我们再来看看

它的二阶导数推导一下

结果(c_o+c_u)*f(Q)

这肯定是个大于等于0的数

也就是说这个期望函数的曲线

是一个凹的曲线我们中文里面边叫凹的曲线

但是在英文里面它有个说法叫下凸的曲线

也就是说它是翻过来冲下凸的

所以跟凹的曲线的意思是一样的

会有这么一个成本的最低点

为了确认是否有这么个最低点我们再看看

如果订货量是零的话我们算算

在Q=0这个点它的一阶导数

算出来是-c_u这是个负数

也就是说你如果这周不订货

在订货点等于0这个地方

它的斜率是往下走的

也就说前面还有一个最优点在等着呢

所以这样的话我们有足够的信心来说

这个问题一定有一个成本最低的最优解

那么我们就让这个期望总成本的一阶导数等于0

我们把这个式子整理一下

就相当于

找到一个最优解Q*

使得F(Q*)这个累积分布函数

对应于Q*这个点

等于c_u/(c_o+c_u)

我们管这个比例叫一个临界比

从这个临界比的定义上我们看到

这个(c_o+c_u)肯定比c_u大

所以它是一个严格的在0到1之间

这样一个范围内取值

如果说我们在期初购入Q*这么多件

也就说我们能够满足本期内全部需求的概率值

就是这个F(Q*)

但是这个比值

和我在一期里边

满足顾客需求总量的比例是多少

这可是两码事我们待会会说到服务水平的时候

会专门解释这个事情

我们举一个很简单的例子

如果说在某种情况下

欠储成本和超储成本是一样的

那么这个临界比就是1/2了

也就说你这Q*应该取到什么地方

应该取到这个概率分布的那个中间点

我们在统计学里边叫中位数的这个地方

好下面我们把这些公式

用到迈克卖这个《计算机》周刊的报摊上去

我们已经知道

期望的需求

μ=11.73

标准差σ=4.74

超储成本c_o是15美分

欠储成本c_u是50美分

那么这个临界比我们来算一下

就是50美分跟65美分比

这个比值是0.77

也就是说我们在每周初的

购入这个《计算机》周刊的数量

应该能够

让满足全周的需求的概率

达到0.77的水平

换句话说

就是我们这个最优的订货量Q*

应该在需求概率分布的

77百分位这个点上

知道了77百分位

我们就可以来算这个点具体在什么位置

因为根据77百分位

我们可以去查正态分布的分布表

到什么地方这个面积能够达到0.77

就像在这个图里的我们看到的

对于一个正态分布这个Q*这个点

对应于77百分位

我们查77百分位这个点

在正态分布表里边

对应于标准变量

等于0.74倍σ的地方

所以这个Q*就是0.74乘上4.74

加上均值11.73算出来是15.24

我们圆整一下取个整数就是15本《计算机》周刊

也就是说你在每周初

买15本《计算机》周刊

你就能够按照0.77这个概率

来满足一周里边顾客的总需求