当前课程知识点：生产计划与控制 > 第六章 针对确定性需求的库存控制（1） > 第5节 经济订货批量（EOQ）模型 > 第5节 经济订货批量（EOQ）模型
下边我们进入下一节
就是经济订货批量模型这一小节
下边我们来看一下
经济订货批量（EOQ）Economic Order Quantity这个模型
这是一个比较初始的基本的模型
它的假设呢也比较理想化
它假设需求的速率是知道的
并且是一个固定的数
也就是说每单位时间
比如每天顾客会向我们买10袋洗衣粉
我这个商店一年到头就是这个样子
而且不允许出现缺货
下一个假设就是提前期为0
这个就太理想化了
也就是说你打个电话
供应商就把货送到你家门口了
现实中这是不可能的
所以回头我们会把这个假设给它释放掉
在这个模型里边 相关的成本呢
就包括准备成本K 这是个固定的值
订货的单价c 这是个边际成本
每多买一件你就得付出c这么多钱
再就是你长时间存货你要付出持货成本的代价h
在这呢 我们要决定的就是这个订货量Q
多少才是最优化的
我们的目标就是要找到这样一个最优化的订货量Q的数值
使得我们整个库存系统
在一个比较长的单位时间 比如一年里头
它的平均总成本最小化
按照前面的这样一个假设
在这个图形里边我们来看一下
库存水平是怎么样变化的
在时间为0的时候
你向供应商要货
他把货送来了
你的库存水平就瞬间到达了Q这个水平
然后呢
这些货物沿着顾客的需求速率
就是-λ这个斜率 在缓缓地下降
经过了一段时间 T这个库存周期
你的所有的料就都用光了 或者都卖光了
这时库存水平又变成0了
你就发出下一次的订货请求
然后这个货来了 库存水平又上去了
然后再慢慢的用掉
整个库存曲线就是这样一波一波的延续下去
我们可以看到在这个曲线里
最高的库存水平是Q这么多
就是一次订货量这么多
最低的水平就是0
那么平均库存水平是多少呢
我们直觉的看就是Q/2
就是它的这个订货量的一半
当然理论上你可以这么计算
把这个库存水平的曲线沿着时间轴做积分
这个曲线下边积分出来的这个面积
除上它的底边这个时间的长度
就是平均库存的高度的水平
这样算也可以 也是Q/2
那么接下来我们进行比较详细的计算
每一个周期里头你的订货成本包含
固定的K和跟这个订货量Q相关的每件c这么多
所以每周期的订货成本呢
这个C是一个订货量Q的函数
就是 K + cQ
那么一个库存循环周期这个时间长度是多少呢
你买了Q这么多货
按照λ这个速率给它用掉了
所以周期长度就可以用Q/λ来表示
在1年里边我们要经历几个这样的周期
你就把1年这个时间长度
除上T这个周期时间
比如说我们周期时间是1个月
那么1年12个月除上这1个月
你1年就得去订12次货
平均的库存水平是Q/2 我们已经说过了
那么我们就把订货的这个成本
和库存持货的成本加起来看看
全年的总成本有多少
就是下边这个年度平均的成本
G（Q）是这个订货量Q的一个函数
因为你每次订货是K+cQ这么多
1年订多少次货
1/T次 每次K+cQ这么多
这是订货的成本
然后再加上持货的成本
平均库存是Q/2
然后每件存一年是h这么多
所以hQ/2这就是库存的成本
我们把这个式子的前面一项
下面分母上有个T
用上边这个T=Q/λ来给它代替一下
我们把这个K和cQ分开了
分别除上Q/λ
这样的话就把它分解成两项
第一项是Kλ/Q
这个说的是什么意思
每次订货有固定成本K这么多钱
你一年订了多少次货呢 λ/Q这么多次
也就是1/T次
这是全年所有的每次每次的准备成本
加起来的总和合计的数值
这是全年合计的准备成本
第二项它就跟Q没有关系了
我们看到λc
说的是什么意思
你一年需要λ件 每件反正是需要花c这么多钱去买或者生产
这是个固定的数值
跟Q没有任何关系
它是个常数
所以在后边的模型里我们把这项就暂时不考虑了
第三项就是我们所说的持货成本
所以说年度的总成本是由这么三项来构成的
其中第一项订货量Q在分母上
最后一项订货量Q在分子上
怎么才能找到这个总成本的这个最低点呢
找到这个最优的订货批量呢
我们用一个图形的方式来观察一下来看看
如果是我们订货量不断地增加
我们的年平均的持货成本也是线性增加的
就像这条黄色的直线
它是hQ/2
然后年度的订货总成本这个固定成本之和
是Kλ/Q 它跟Q是倒数的关系
是你订货量越小
每年订货的次数很多 你自然花的钱就很多
如果我一年一共就订一回货
我只要付出一个K的代价就可以了
所以它跟这个Q是成反比的关系
但是我们总成本是把这两个加起来
就是我们上面画的这个红色的G（Q）这条曲线
它应该是一个凹的曲线
应该有一个最低点
我们怎么把这个最低点找着呢
就用我们在微积分里边学过的
这个曲线的最低点应该是它的切线是水平线的这个位置
也就是说它的一阶导数等于0的这个位置
我们就找到了这个最优的订货量Q
我们管它叫Q*
加一个*号表示这个最优的订货量
大家注意到一个现象
在这个总成本最优的这个点也正好是
我们这个订货成本和持货成本这两个曲线它的交叉点
这个性质我们在后边还会用到
请大家稍微留意一下
然后我们来进行一下具体的优化计算
我们要想找到一个Q值让这个总成本最小化
我们先把它的一阶导数算出来
是-Kλ/Q² +h/2
为了确认这是一条凹的曲线
所以我们把它二阶导数也算一下
是2Kλ/Q³
你订货量不可能小于0 顶多等于0
所以这个二阶导数肯定是一个大于0的函数
所以我们有足够的信心说这个曲线是一个凹的曲线
它一定有一个成本的最低点
然后我们让这个一阶导数等于0
这样的话 反算一下这个订货量Q是多少
就是√(2Kλ/h)
就是把2倍的订货固定成本再乘上年需求率
除上一年的单件持货成本 开个根号
这就是我们最优的订货批量了
也称作经济订货批量 Economic Order Quantity
这是100多年前哈里斯提出的一个最基础的库存管理的模型
一直到现在这个模型还是在被广泛的应用的
因为它简单有效 非常实用
好 下边我们来看一个
怎么样应用这个
经济订货批量的模型
来做订货决策的例子
这个例子说的是
在一个大学校园的书店里头
它除了卖书之外 也代销一些文具
其中包括一种铅笔
那么这个铅笔的需求率
还是相对稳定的
每周大概能卖60来支铅笔
每支铅笔的进货成本是2美分
零售价是15美分
看起来这个毛利率还是蛮高的
每次 找供应商订一次货
供应商发货过来的
要求的固定成本是 12美元
这个书店在考虑
这个持货库存的成本的时候
是按照一个25％的年利率
来计算持货成本
那么 现在我们想知道
每次最优的订货批量应该是多少
应该隔多长时间去订一次货
全年的 合计的订货成本和
持货成本一共有多少
我们来算一下
首先 我们要在时间轴上统一一下
把单位都统一成 年
我们来看 这个年的需求率
就是每周60件乘上一年52周
这样的话就是 一年里边需要3120支铅笔
这是年需求率
持货成本呢
就是按照这个铅笔的单支的
进价2分钱乘上25％的年利率
这样的话呢 就是0.5美分
半个美分
订货的固定成本是12美元
我们已经说过了
这样的话呢 按照经济订货批量的模型
你把这个K λ h代到公式里边
两倍的固定成本12美元
乘上年需求率3120支铅笔
除上这个年单件的持货成本
5厘美分 开个根号 3870支铅笔
这是最优的订货批量
但是这样呢 问题就来了
如果你是这个书店的经理的话
你会不会要求
铅笔厂给你发3870支铅笔来啊
即使你打电话这么说
铅笔厂的销售经理告诉你
对不起 我们这只批发不零售
我们的每一箱铅笔是1000支
你要想买3870支我们是不卖的
你要不就买3箱3000支
要不就买4箱4000支
所以说 这个最优的订货批量
和现实中的可能性中间
还是有点差距的
我们在这呢
姑且认为这个订货批量是可行的
那么来算一下
订货间隔的时间是多少
每次是买3870支
一年只需要3120支
所以说 买一次货够我们用1.24年的
也就是说 几乎是5个季度
你就可以不用再进货了
按照这个数的话 我们来算
全年合计的固定成本和持货成本
刚才在那个图形里面
大家还有点印象吧
就这两个成本是一样的
你按任何一个算都可以
在这我们按持货成本来算
5厘钱乘上3870/2
就是9块6毛多
这是持货成本
固定成本也是一样
这两方面加起来就是不到20美元的样子
这是合计的总成本
不包括购买本身的成本
这节课的内容呢
我们就先到这
谢谢大家 再见
-第1节 生产系统
--第1节 生产系统
-第2节 生产运营管理概述
-第3节 课程内容
--第3节 课程内容
-第1节 企业使命与运营战略维度
-第2节 运营战略视角
-第3节 全球化竞争
-第4节 战略举措（1）流程再造与准时制
-第5节 战略举措（2）基于时间与质量的竞争
-第一章测试 战略与竞争（1）
-第1节 产品与制造流程的生命周期
-第2节 学习曲线
--第2节 学习曲线
-第3节 经验曲线
--Video
-第4节 生产能力扩张规划
-第5节 产能扩张策略
-第6节 动态产能扩张模型
-第二章测试 战略与竞争（2）
-第1节 预测及其特性
-第2节 主观预测方法
-第3节 客观预测方法
-第4节 预测误差
--第4节 预测误差
-第5节 移动平均法
-第6节 指数平滑法
-第三章测试 需求预测（1）
-第1节 回归分析
--第1节 回归分析
-第2节 Holt法
-第3节 季节因子
--第3节 季节因子
-第4节 移动平均分解季节性与趋势
-第5节 Winters法
-第6节 Winters法应用示例
-第四章测试 需求预测（2）
-第1节 综合计划及其综合单位
-第2节 综合计划问题
-第3节 综合计划的成本因素
-第4节 综合计划应用示例
-第5节 追踪策略（零库存计划）
-第6节 固定劳动力水平计划与混合策略
-第7节 线性规划解算综合计划问题
-第8节 线性规划应用示例
-第五章测试 综合计划
-小测验 （第一章~第五章）
-第1节 库存的类型
-第2节 持有库存的动机
-第3节 库存系统的特性
-第4节 库存的关联成本
-第5节 经济订货批量（EOQ）模型
-第6节 考虑订货提前期的EOQ模型
-第7节 灵敏度分析
-第8节 有限生产速率的经济订货批量
-第六章测试 针对确定性需求的库存控制（1）
-第1节 全量折扣模型
-第2节 增量折扣模型
-第3节 EOQ模型用于生产计划
-第4节 多品种轮番生产计划示例
-第5节 ABC分类库存控制
-第七章测试 针对确定性需求的库存控制（2）
-第1节 随机性需求与优化准则
-第2节 报童模型
--第2节 报童模型
-第3节 报童模型的扩展应用
-第4节 (Q, R)库存控制方式
-第5节 (Q, R)模型期望成本计算
-第6节 (Q, R)模型年度总成本计算
-第7节 (Q, R)模型应用示例
-第八章测试 针对不确定性需求的库存控制（1）
-第1节 (Q, R)库存控制方式下的服务水平
-第2节 针对第二类服务水平的最优(Q, R)策略
-第3节 估计提前期内的需求波动
-第4节 周期性观察库存控制及其服务水平
-第5节 交换曲线
--第5节 交换曲线
-第九章测试 针对不确定性需求的库存控制（2)
-小测验 （第六章~第九章）
-第1节 生产计划体系
-第2节 MRP分解计算
-第3节 生产批量规划（1）
-第4节 生产批量规划（2）
--Video
-第5节 批量规划与分解计算结合
-第6节 生产能力约束下的批量规划
-第7节 生产计划改进
-第十章测试 物料需求计划
-第1节 车间作业调度问题
--车间作业调度问题
-第2节 车间调度术语
--车间调度术语
-第3节 排序规则及应用效果
-第4节 车间管理目标讨论
--车间管理目标讨论
-第5节 单机排序理论
--单机排序理论
-第6节 延误工件数量最小化
-第7节 考虑紧前约束的Lawler算法
-第十一章测试 作业调度(1)
-第1节 双机调度问题
-第2节 约翰逊法则
-第3节 三机调度问题
-第4节 双工件流水车间调度
-第5节 多机调度（1）：帕尔默法
-第6节 多机调度（2）：CDS法与关键工件法
-第7节 随机调度（1）：单机问题
-第8节 随机调度（2）：双机并行加工
-第9节 随机调度（3）：双机流水车间
-第十二章测试 作业调度(2)
-小测验 （第十章~第十二章）
-第1节 精益生产原理
--精益生产原理
-第2节 大量生产与精益生产对比
-第3节 看板管理（1）：看板类型与用途
-第4节 看板管理（2）：如何运用看板
-第5节 看板管理（3）：看板数量与规则
-第6节 生产均衡化
--生产均衡化
-第7节 缩短生产过程时间
--缩短生产过程时间
-第十三章测试 精益生产（1）
-第1节 缩短生产准备时间
--缩短生产准备时间
-第2节 标准作业
--标准作业
-第3节 柔性生产（1）：U形线
-第4节 柔性生产（2）：多能工
-第5节 自主化质量控制——自働化
-第6节 现场管理（1）
--现场管理（1）
-第7节 现场管理（2）
--现场管理（2）
-第十四章测试 精益生产(2)
-第1节 经营目标与运作绩效指标
-第2节 瓶颈分析
--瓶颈分析
-第3节 OPT的九条原则（1）：围绕瓶颈同步生产
-第4节 OPT的九条原则（2）：加工与转运批量
-第5节 TOC的五个步骤
--TOC的五个步骤
-第6节 “鼓、缓冲和绳索”
-第7节 生产什么品种？
--生产什么品种？
-第8节 每种生产多少？
--每种生产多少？
-第十五章测试 约束理论
-第1节 制造企业面临的各种变动
-第2节 应对订单变动（1）：精准预测与产能调节
-第3节 应对订单变动（2）：快速转换与订单合并
-第4节 应对劳动力变动（1）：入职测试与岗位匹配
-第5节 应对劳动力变动（2）：适应型生产线平衡
-第6节 应对劳动力变动（3）：动态平衡与激励机制
-第7节 应对物料供应变动（1）：采购管理与供应商管理
-第8节 应对物料供应变动（2）：物料管理
-第十六章测试 制造企业应对变动
