当前课程知识点：生产计划与控制 > 第八章 针对不确定性需求的库存控制（1） > 第6节 (Q, R)模型年度总成本计算 > 第6节 (Q, R)模型年度总成本计算
刚才我们看了每周期的期望成本函数
现在来算一算
一个单位时间整年里面
它的总成本会有多少
我们可以分持货成本 订货固定成本 缺货成本
这三方面来看
是以Q和R作为自变量
就是你的订货量和再订货点
这两个自变量
我们期望的总成本
G(Q，R)等于多少呢
持货成本的部分
是h(Q/2+R-λτ）
固定订货成本的部分
每次是K这么多
一年有λ/Q这么多次
然后单件单次的缺货成本
p乘上全年的需求λ
和每次里边这个
期望缺货量的比例是多少
用n(R)/Q来表示
再乘上λ就表示
全年的缺货总量这么多
每件p这么多钱
这是缺货成本
大家看到这个全年期望总成本的函数
有两个自变量 Q和R
那么怎么求这个最低点呢
因为现在是在两个维度上
来摸索这个最低点
我们的办法就是对Q和R
分别求它的一阶偏导数
让这个一阶偏导数等于零
我们看 G对于Q求一阶偏导数
那就是h/2-Kλ/Q²-pλ·n(R)/Q²
这是一阶偏导数 等于0
那么对于R的一阶偏导数
就是h+pλ·n′(R)/Q
这个n′(R)是什么意思啊
就是那个期望的缺货件数
这个函数对R求一阶导数
我们看这个事变得越来越复杂了
本来Q和R搅合在一起就很麻烦
在这发现这个Q不仅出现在分子上分母上
R不仅出现在分子上分母上
还出现在一个一阶导数里头
这个计算就比较麻烦
我们很难从这两个式子
直接求出一个最优的Q或者R出来
但是这里面有一个有利的条件
因为n(R)的定义是按照从R到正无穷
对(x-R)f（x）来沿着x轴去积分
我们可以证明一下这个n′(R)
跟我们这个概率密度分布有什么关系呢
是-（1-F（R））
这样的话还好
这个n′(R)得到了一点简化
由前边这个第（2）号公式
就是对Q求偏导的这个式子
我们可以得到
1/Q²[Kλ＋pλ·n（R）]＝h/2
我们把它形式倒一下
可以变成Q²等于后边这个式子
我们把它开一个根号
就得到了Q的数值
这是第（4）号公式
这将是我们下一步要直接用的公式
大家盯着这个第（4）号公式看一看
是不是有哪一部分
我们看起来比较眼熟的部分
我们看根号里面
2λK除上分母上的h
这不就是原来的EOQ吗
只不过是在K后面我们加了点小尾巴
就是惩罚成本这部分n(R)·p
这是每期的惩罚成本
相当于我每期不光有一个固定订货成本
还有一个惩罚成本在这
这样的话就得到了一个
某一种修正了的EOQ模型
这是Q跟R的关系
在第（4）号公式里面得到了体现
我们从前面的（3）号式子可以得到
h+pλ[-(1-F（R）)]/Q=0
这就是原来的n′(R)那部分
让这个一阶导数等于零
我们把这个式子整理一下的话
把1-F（R）当一个整体的量
拿出来放在左边
然后右边变成什么呢
Qh/pλ
这是第（5）号式子
它表达的意思是
如果我有一个好的Q了
我可以拿这个Q反过来求这个1-F（R）
既然概率分布是知道的
1-F（R）知道了
R自然就求出来了
所以有了Q我可以求R
我们看(4)号式子说的是有R能求Q
(5)号说的是有Q能求R
这不成了一个连环套了吗
怎么办呢
工程师们解决这类问题的办法
就是用数值运算
用迭代算法来算
我们看看
求解这个最优的（Q，R）的
解算的步骤是这样
我们把上面的（4）（5）两个公式
进行迭代的计算
一直到下一对（Q，R）
和上一对（Q，R）已经高度接近了
这样我们就不再算下去了
至于这个具体的计算怎么算法呢
我们来看看
Q的初值可以用简单的经济订货批量来算
就像我们这说的
让Q_0=EOQ
拿这个Q_0代到(5)号公式去
算出个R_0出来
由R_0算出n(R)出来
把n(R)再代到(4)号公式里
再去算下一个Q_1
有了Q_1了你再算R_1
然后再算Q_2 R_2 Q_3 R_3
这么一直算下去
算到某一对(Q，R)
跟上一对(Q，R)已经高度接近了
比如误差在1%之内了
或者说个位数都一样了
你就可以停止这个迭代计算的循环了
也就是说这个结果已经收敛了
一个特殊的情况是
如果说我们知道
需求是正态分布的话
还有一个省劲的办法来计算
这个期望缺货的件数
就是可以借用统计学里面的
这个损失函数的这个算法
对于正态分布来讲
这个期望的缺货量n（R）
跟这个损失函数有一个这样的关系
我们下面这个式子里面列的是
损失函数的定义
它是从z到正无穷对（t-z）φ（t）
顺着t这个轴进行积分
其中φ（t）本身就是标准正态分布
如果我们知道
这个标准正态分布的均值是μ
标准差是σ
那么我们期望的缺货量
就等于σ乘上这个损失函数就可以了
这个损失函数里面这个z怎么算呢
我们可以用（R（再订货点）-μ）/σ
拿这个当标准值
这样的话就可以把
这个期望的缺货量给算出来了
就让我们的计算变得稍微简单了一点
当然这个前提条件
提前期内的需求得是正态分布
否则你不能这么简单的用
-第1节 生产系统
--第1节 生产系统
-第2节 生产运营管理概述
-第3节 课程内容
--第3节 课程内容
-第1节 企业使命与运营战略维度
-第2节 运营战略视角
-第3节 全球化竞争
-第4节 战略举措（1）流程再造与准时制
-第5节 战略举措（2）基于时间与质量的竞争
-第一章测试 战略与竞争（1）
-第1节 产品与制造流程的生命周期
-第2节 学习曲线
--第2节 学习曲线
-第3节 经验曲线
--Video
-第4节 生产能力扩张规划
-第5节 产能扩张策略
-第6节 动态产能扩张模型
-第二章测试 战略与竞争（2）
-第1节 预测及其特性
-第2节 主观预测方法
-第3节 客观预测方法
-第4节 预测误差
--第4节 预测误差
-第5节 移动平均法
-第6节 指数平滑法
-第三章测试 需求预测（1）
-第1节 回归分析
--第1节 回归分析
-第2节 Holt法
-第3节 季节因子
--第3节 季节因子
-第4节 移动平均分解季节性与趋势
-第5节 Winters法
-第6节 Winters法应用示例
-第四章测试 需求预测（2）
-第1节 综合计划及其综合单位
-第2节 综合计划问题
-第3节 综合计划的成本因素
-第4节 综合计划应用示例
-第5节 追踪策略（零库存计划）
-第6节 固定劳动力水平计划与混合策略
-第7节 线性规划解算综合计划问题
-第8节 线性规划应用示例
-第五章测试 综合计划
-小测验 （第一章~第五章）
-第1节 库存的类型
-第2节 持有库存的动机
-第3节 库存系统的特性
-第4节 库存的关联成本
-第5节 经济订货批量（EOQ）模型
-第6节 考虑订货提前期的EOQ模型
-第7节 灵敏度分析
-第8节 有限生产速率的经济订货批量
-第六章测试 针对确定性需求的库存控制（1）
-第1节 全量折扣模型
-第2节 增量折扣模型
-第3节 EOQ模型用于生产计划
-第4节 多品种轮番生产计划示例
-第5节 ABC分类库存控制
-第七章测试 针对确定性需求的库存控制（2）
-第1节 随机性需求与优化准则
-第2节 报童模型
--第2节 报童模型
-第3节 报童模型的扩展应用
-第4节 (Q, R)库存控制方式
-第5节 (Q, R)模型期望成本计算
-第6节 (Q, R)模型年度总成本计算
-第7节 (Q, R)模型应用示例
-第八章测试 针对不确定性需求的库存控制（1）
-第1节 (Q, R)库存控制方式下的服务水平
-第2节 针对第二类服务水平的最优(Q, R)策略
-第3节 估计提前期内的需求波动
-第4节 周期性观察库存控制及其服务水平
-第5节 交换曲线
--第5节 交换曲线
-第九章测试 针对不确定性需求的库存控制（2)
-小测验 （第六章~第九章）
-第1节 生产计划体系
-第2节 MRP分解计算
-第3节 生产批量规划（1）
-第4节 生产批量规划（2）
--Video
-第5节 批量规划与分解计算结合
-第6节 生产能力约束下的批量规划
-第7节 生产计划改进
-第十章测试 物料需求计划
-第1节 车间作业调度问题
--车间作业调度问题
-第2节 车间调度术语
--车间调度术语
-第3节 排序规则及应用效果
-第4节 车间管理目标讨论
--车间管理目标讨论
-第5节 单机排序理论
--单机排序理论
-第6节 延误工件数量最小化
-第7节 考虑紧前约束的Lawler算法
-第十一章测试 作业调度(1)
-第1节 双机调度问题
-第2节 约翰逊法则
-第3节 三机调度问题
-第4节 双工件流水车间调度
-第5节 多机调度（1）：帕尔默法
-第6节 多机调度（2）：CDS法与关键工件法
-第7节 随机调度（1）：单机问题
-第8节 随机调度（2）：双机并行加工
-第9节 随机调度（3）：双机流水车间
-第十二章测试 作业调度(2)
-小测验 （第十章~第十二章）
-第1节 精益生产原理
--精益生产原理
-第2节 大量生产与精益生产对比
-第3节 看板管理（1）：看板类型与用途
-第4节 看板管理（2）：如何运用看板
-第5节 看板管理（3）：看板数量与规则
-第6节 生产均衡化
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-第7节 缩短生产过程时间
--缩短生产过程时间
-第十三章测试 精益生产（1）
-第1节 缩短生产准备时间
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--标准作业
-第3节 柔性生产（1）：U形线
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-第5节 自主化质量控制——自働化
-第6节 现场管理（1）
--现场管理（1）
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--现场管理（2）
-第十四章测试 精益生产(2)
-第1节 经营目标与运作绩效指标
-第2节 瓶颈分析
--瓶颈分析
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-第4节 OPT的九条原则（2）：加工与转运批量
-第5节 TOC的五个步骤
--TOC的五个步骤
-第6节 “鼓、缓冲和绳索”
-第7节 生产什么品种？
--生产什么品种？
-第8节 每种生产多少？
--每种生产多少？
-第十五章测试 约束理论
-第1节 制造企业面临的各种变动
-第2节 应对订单变动（1）：精准预测与产能调节
-第3节 应对订单变动（2）：快速转换与订单合并
-第4节 应对劳动力变动（1）：入职测试与岗位匹配
-第5节 应对劳动力变动（2）：适应型生产线平衡
-第6节 应对劳动力变动（3）：动态平衡与激励机制
-第7节 应对物料供应变动（1）：采购管理与供应商管理
-第8节 应对物料供应变动（2）：物料管理
-第十六章测试 制造企业应对变动
