当前课程知识点：控制工程基础 > 第2章 控制系统的动态数学模型 > 2.1 系统的微分方程（一） > 系统的微分方程（一）
同学们好
欢迎进入全新一期的控制工程基础MOOC课程
这一节我们开始介绍第二章的内容
控制系统的动态数学模型
这是分析和设计控制系统的基础
首先系统的数学模型是描述
系统输入 输出量
以及内部各变量之间的关系
那么可以分为静态数学模型和动态数学模型
静态数学模型是描述变量之间
在静态条件下相互关系的一个代数方程
也就是说变量的各阶导数为零
比如我们直流电机的电枢的控制电压
跟它转速之间就是一个比例关系
那么动态数学模型是描述
变量各阶导数之间关系的一个微分方程
那么通过这个微分方程
我们可以获得系统变量随时间变化的规律
那么再拿直流电机为例
那么它的电机的驱动电压变化的时候
那么转速随时间是怎么变化的
这就是一个微分方程
那么本章主要来建立系统的动态数学模型
首先我们来举两个例子
来说明运动微分方程的建立
第一个例子是RC网络
大家看一下这样的一个电路网络
那么输入是电压Ui
输出是电容上的电压降Ui
那么为了建立这个系统的微分方程
我们先来看一下
构成电路系统的一些基本元件的
微分方程怎么来建立
第一个是电阻 电阻两端的电压降
等于流经电阻的电流与电阻值的乘积
那么对于电容呢
电容两端的电压降
是等于流经这个电容的电流
对时间的积分除以电容值
电感两端的电压降是等于
流经这个电感的电流与时间的导数
再去乘以电感值
那么有了这三个基本元件的微分方程
我们再来看我们的例子
那么为了建立它们的微分方程
我们设一个中间变量 电流I(t)
那么对于电容来说
电容两端的电压降
就等于这个电流的积分除以电容值
那么电阻两端的电压降就是Ui减去Uo
它等于电阻值与电流值的乘积
有了这两个方程我们实际上是要建立
输入与输出之间的微分方程
那么这个微分方程
除了包含输入跟输出信号以外
其余的应该是这个电路本身的一些参数
那么我们的电流呢是我们引入的中间变量
那么下面一步我们就来消去这个中间变量
那么这就是消去中间变量的过程
那么第一个方程电容两端的电压
是等于这样的一个关系式
我们把它变化一下得到这样的一个式子
然后把它带到我们电阻那个方程里面
大家可以看到，就得到一个这样的一个方程
那么这个方程里面
除了包含输入跟输出信号以外
其余的就是系统本身的参数RC的值
那么到这儿实际上这个
微分方程已经建立起来了
那么但是我们的运动系统微分方程
我们还有最后一步叫做标准化的过程
标准化的过程是指
把所有跟输出有关的项放在等号的左边
所有跟输入有关的项放在等号的右边
然后按照导数降阶来排列
那么就得到这样一个关系式
这就是我们最终建立起来的
这个RC网络的微分方程
那么从这个微分方程可以看到
这是一个一阶的常系数的微分方程
下面我们再来看我们这个
质量弹簧阻尼系统的例子
那么它受到的外力是f(t)
它的输出是在这个f(t)的作用下位移X(t)
要想列它的微分方程我们来分析质量块的受力
质量块受三个力
一个是主动力f(t)
另外两个是弹簧力和阻尼力
根据牛顿第二定律
质量乘以它的加速度等于合外力的大小
那么在这个方程里头我们引入了两个中间变量
一个是弹簧力 另外一个是阻尼力
那么下面我们再来列两个方程
最终才能消去这两个中间变量
那么第一个方程就是弹簧力等于负的KX(t）
这是根据胡克定律
其中的负号是代表它的方向
fd呢 又等于负的D乘以位移对时间的导数
那么其中的负号也同样是代表阻尼力的方向
那么有了这三个基本方程
有两个中间变量下一步我们来消去中间变量
把fk和fd的大小都带到第一个式子里头
就得到了最终的微分方程
那么还没到最后
我们还要进行一步标准化的过程
把所有跟输出X有关的项放在等号的左边
跟输入f有关的项放在等号的右边
然后按导数降阶来排列
就得到了这个系统的微分方程
它是一个二阶的常系数的微分方程
通过这两个例子我们来看一下
建立微分方程数学模型的一般步骤
首先我们来分析系统的工作原理
确定系统和各元件的输入 输出量
第二步 根据各变量之间遵循的物理定律
我们来列各个元件或者部件的动态的微分方程
第三步 消去中间变量
得到描述这个元件或者系统的输入输出
变量之间关系的一个微分方程
第四步 就是标准化
把所有跟输出有关的项放在等号的左边
跟输入有关的项放在等号的右边
然后按照导数降阶排列
就得到这个控制系统的微分方程
-课程介绍1
--课程介绍1
-课程介绍2
--课程介绍2
-1.1 控制工程的发展
--控制工程的发展
-1.2 控制系统的分类
--控制系统的分类
-1.3 闭环系统的结构
--控制系统的结构
-第1章课后练习--作业
-2.1 系统的微分方程（一）
-2.2 系统的微分方程（二）
-2.3 Laplace变换的定义
-2.4 Laplace变换的定理
--Video
-2.5 Laplace反变换
--Video
-2.6 Laplace变换法解微分方程
--Video
-2.7 传递函数
--Video
-2.8 传递函数的一般形式
--Video
-2.9 控制系统的方块图
--Video
-2.10 方块图的化简
--Video
-2.11 建立数学模型——温控箱
--Video
-2.12 方块图——直流电机
--Video
-2.13 闭环与开环传递函数
--Video
-第2章 控制系统的动态数学模型--第2章 课后习题
-3.1 时域响应概述
-3.2 一阶系统的瞬态响应
-3.3 二阶系统的瞬态响应
-3.4 极点位置与响应特性的关系
-3.5 高阶系统的瞬态响应
-3.6 瞬态响应性能指标
-第3章 时域瞬态响应分析--第3章 课后练习
-4.1 频域法概述
-4.2.1 频率特性的定义
-4.2.2 频率特性的意义及表示形式
-4.2.3 频率特性的求取
-4.3.1 典型环节的Nyquist图
-4.3.2 Nyquist图的作图方法
-第4章 控制系统的频率特性--第4章 课后练习（一）
-4.4.1 典型环节的Bode图
-4.4.2 一般系统Bode图的作图方法
-4.4.3 最小相位系统的Bode图
-4.5.1 Bode图与传递函数的对应关系
-4.5.2 Bode图与传递函数的对应关系举例
-4.6 系统的开环和闭环频率特性的关系
-第4章 控制系统的频率特性--第4章 课后练习（二）
-5.1 控制系统的稳定性
-5.2 劳斯判据
--5.2 劳斯判据
-5.3 映射定理
--5.3 映射定理
-5.4 Nyquist稳定性判据
-5.5 Nyquist判据具体应用1
-5.5 Nyquist判据具体应用2
-5.5 Nyquist判据具体应用3
-5.6 控制系统的相对稳定性
-第5章 控制系统的稳定性分析--第5章 课后习题
-6.1 闭环控制系统的稳态误差
-6.2 输入引起的稳态误差1
-6.2 输入引起的稳态误差2
-6.3 干扰引起的稳态误差
-6.4 叠加动态特性与输入无关
-第6章 控制系统的误差分析和计算--第6章 课后练习
-7.1 闭环系统瞬态响应与频率特性的关系
-7.2 开环与闭环频率特性的关系
-7.3 开环频率特性与闭环瞬态响应的关系
-7.4 准确性及时频关系例子
-7.5 期望的开环频率特性
-第7章 控制系统的综合与校正--第7章 课后练习（一）
-7.6 控制器——比例、积分
-7.7 控制器——比例-积分
-7.8 控制器——比例-微分
-7.9 控制器——PID
-7.10 直流电机伺服系统
-7.11 最优阻尼比
-7.12 I型最优模型
-7.13 PID控制器的参数计算
-第7章 控制系统的综合与校正--第7章 课后练习（二）
-8.1 计算机控制系统的结构
-8.2 z变换
--8.2 z变换
-8.3 s平面与z平面的映射关系
-8.4 控制器的模拟化设计方法
-第8章 计算机控制系统--第8章 课后练习
