当前课程知识点：控制工程基础 > 第8章 计算机控制系统 > 8.2 z变换 > 8.2 z变换
同学们好
这一讲我们讨论z变换
我们考虑采样信号y*(t)
它是连续信号y(t)
和单位脉冲序列相乘以后得到的结果
也就是可以用这个式子来表示
我们对这个式子做拉普拉斯变换
根据拉普拉斯变换的定义
它等于这个式子
我们交换积分和求和符号
那就是对y(kT)乘以δ(t-kT)e^(-st)做积分
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把y(kT)再拿到前面
剩下来的就是对δ(t-kT)做拉氏变换
根据拉氏变换的延迟定理
这部分等于e^(-skT)
s是复变量 那e^(sT)也是复数
我们把这个复数叫做z
那刚才得到的拉普拉斯变换的结果
我们就可以写成Y(z)=y(kT)×z^(-k)
对k从0到无穷求和
我们把Y(z)叫做y(kT)的z变换
下面我们看一些典型的离散时间信号的z变换
首先我们看这样一个函数
它也叫δ(kT) 当k等于0的时候它的值是1
当k不等于0的时候它的值是0
这个δ函数我们叫它克罗内克δ函数
根据z变换的定义
我们可以很容易得到它的z变换等于1
我们再看经过延迟以后的单位脉冲
δ(kT-nT)也就是当k等于n的时候
这个函数的值是1
当k不等于n的时候函数值是0
我们把它代到z变换的定义里面去
就可以得到它的z变换是z的-n次方
第二 我们看单位阶跃时间序列
当k大于等于0的时候函数值是1
当k小于0的时候函数值是0
根据z变换的定义它的z变换等于z^(-k)
从k等于0到无穷求和
这个求和的结果是1/(1-z^(-1))
第三 我们看单位斜坡时间序列
也就是y(kT)=kT
那它的z变换是T乘以k乘以z^(-k)
k等于0到无穷求和
这个求和的结果是T×z^(-1)/(1-z^(-1))^2
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第四 我们看指数序列y(kT)等于a的k次方
它的z变换是a的k次方乘以z的-k次方
k等于0到无穷求和
求和的结果是1/(1-a×z^-1)
我们简单的看一下z变换的一些性质
第一个性质是线性性质
也就是如果一个信号x(kT)的z变换是X(z)
y(kT)的z变换是Y(z)的话
那么成立这个式子
α×x(kT)+β×y(kT)的z变换
等于α×X(z)+β×Y(z)
我们再列出它的初值定理和终值定理
终值定理是说y无穷是z减1
乘以Y(z)然后让z趋近于1取极限
第四个性质是滞后性质
我们假设kT小于0时y(kT)等于0
那y(kT-T)的z变换
就等于y(kT-T)乘以z的-k次方
k从0到无穷求和
我们做一个变换
取一个变量j让它等于k减1
那刚才这个求和式就可以变成这样
那它求和的结果就是z的-1次方乘以Y(z)
同样的道理如果是滞后了n步
那y(kT-nT)它的z变换就等于
z的-n次方乘以Y(z)
所以以后我们一看到z的-n次方
就代表把原来的信号
滞后或者是延迟n个周期
第五个性质是超前性质
对y(kT+T)做z变换
我们看这个公式
在这个式子里边我们做一个变量的替换
让j等于k+1
这样的运算的结果等于z×[Y(z)-y(0)]
和它类似的如果是超前了n步
那这个信号的z变换就是这样一个式子
当然如果y(0) y(1)等等一直到y(n-1)都等于0的话
那超前n步的z变换
就是z的n次方乘以Y(z)
-课程介绍1
--课程介绍1
-课程介绍2
--课程介绍2
-1.1 控制工程的发展
--控制工程的发展
-1.2 控制系统的分类
--控制系统的分类
-1.3 闭环系统的结构
--控制系统的结构
-第1章课后练习--作业
-2.1 系统的微分方程（一）
-2.2 系统的微分方程（二）
-2.3 Laplace变换的定义
-2.4 Laplace变换的定理
--Video
-2.5 Laplace反变换
--Video
-2.6 Laplace变换法解微分方程
--Video
-2.7 传递函数
--Video
-2.8 传递函数的一般形式
--Video
-2.9 控制系统的方块图
--Video
-2.10 方块图的化简
--Video
-2.11 建立数学模型——温控箱
--Video
-2.12 方块图——直流电机
--Video
-2.13 闭环与开环传递函数
--Video
-第2章 控制系统的动态数学模型--第2章 课后习题
-3.1 时域响应概述
-3.2 一阶系统的瞬态响应
-3.3 二阶系统的瞬态响应
-3.4 极点位置与响应特性的关系
-3.5 高阶系统的瞬态响应
-3.6 瞬态响应性能指标
-第3章 时域瞬态响应分析--第3章 课后练习
-4.1 频域法概述
-4.2.1 频率特性的定义
-4.2.2 频率特性的意义及表示形式
-4.2.3 频率特性的求取
-4.3.1 典型环节的Nyquist图
-4.3.2 Nyquist图的作图方法
-第4章 控制系统的频率特性--第4章 课后练习（一）
-4.4.1 典型环节的Bode图
-4.4.2 一般系统Bode图的作图方法
-4.4.3 最小相位系统的Bode图
-4.5.1 Bode图与传递函数的对应关系
-4.5.2 Bode图与传递函数的对应关系举例
-4.6 系统的开环和闭环频率特性的关系
-第4章 控制系统的频率特性--第4章 课后练习（二）
-5.1 控制系统的稳定性
-5.2 劳斯判据
--5.2 劳斯判据
-5.3 映射定理
--5.3 映射定理
-5.4 Nyquist稳定性判据
-5.5 Nyquist判据具体应用1
-5.5 Nyquist判据具体应用2
-5.5 Nyquist判据具体应用3
-5.6 控制系统的相对稳定性
-第5章 控制系统的稳定性分析--第5章 课后习题
-6.1 闭环控制系统的稳态误差
-6.2 输入引起的稳态误差1
-6.2 输入引起的稳态误差2
-6.3 干扰引起的稳态误差
-6.4 叠加动态特性与输入无关
-第6章 控制系统的误差分析和计算--第6章 课后练习
-7.1 闭环系统瞬态响应与频率特性的关系
-7.2 开环与闭环频率特性的关系
-7.3 开环频率特性与闭环瞬态响应的关系
-7.4 准确性及时频关系例子
-7.5 期望的开环频率特性
-第7章 控制系统的综合与校正--第7章 课后练习（一）
-7.6 控制器——比例、积分
-7.7 控制器——比例-积分
-7.8 控制器——比例-微分
-7.9 控制器——PID
-7.10 直流电机伺服系统
-7.11 最优阻尼比
-7.12 I型最优模型
-7.13 PID控制器的参数计算
-第7章 控制系统的综合与校正--第7章 课后练习（二）
-8.1 计算机控制系统的结构
-8.2 z变换
--8.2 z变换
-8.3 s平面与z平面的映射关系
-8.4 控制器的模拟化设计方法
-第8章 计算机控制系统--第8章 课后练习
