当前课程知识点：控制工程基础 > 第3章 时域瞬态响应分析 > 3.4 极点位置与响应特性的关系 > 3.4极点位置与响应特性的关系
同学们好
这一节我们介绍系统的极点位置
与瞬态响应的关系
前面我们介绍了一阶系统
和二阶系统的瞬态响应
我们知道 当输入信号的形式确定时
系统的响应特性由系统的传递函数唯一决定
这是一阶系统和二阶系统的传递函数表达式
这是取不同的时间常数T的情况下
一阶系统的单位阶跃响应曲线
这是取不同的阻尼比ζ的情况下
二阶系统的单位阶跃响应曲线
当改变一阶系统的时间常数T
和二阶系统的阻尼比ζ时
系统的响应特性也随着发生变化
我们再来看一下一阶系统
和二阶系统的传递函数表达式
当时间常数T和阻尼比ζ改变时
传递函数到底有什么本质的变化呢
系统的传递函数由
零点、极点和增益三个要素构成
当参数变化时系统的增益和零点都没有改变
发生变化的只有系统的极点
也就是说当系统的极点发生变化时
系统的响应特性也随着变化
系统的极点位置直接影响系统的响应特性
接下来我们来分析一下极点位置
与瞬态响应的关系
我们分别以一阶系统
和二阶系统的阶跃响应为例
分析一下系统的极点分布对响应特性的影响
首先来看一下一阶系统的单位阶跃响应
这是一阶系统的传递函数表达式
系统有一个负实极点 s等于负的T分之一
这是一阶系统的单位阶跃响应表达式
从上面的式子我们看出
系统极点是一个负实根
单位阶跃响应函数是单调变化的 没有振荡
另外表达式中指数函数的时间常数
就是系统的极点
所以系统的时域响应速度
就是由系统的极点决定的
时间常数T越小
极点负T分之1距离虚轴越远
系统的响应速度越快
所以系统的响应速度
由极点距离虚轴的远近决定
我们再来看二阶系统
这是二阶系统的传递函数表达式
当阻尼比ζ取不同的值时
系统的极点类型和极点位置发生变化
系统的响应特性也随着变化
当无阻尼自振角频率ωn确定时
根据阻尼比ζ的不同情况
二阶系统的极点分布如图所示
当阻尼比ζ在0和1之间取值时
系统极点是具有负实部的一对共轭复根
分布在第二和第三象限
当阻尼比等于1时 系统的极点是双重负实根
位于负实轴上的(-ωn, j0)这一点
当阻尼比大于1时 系统的极点是两个负实根
分布在负实轴的(-ωn, j0)点的两侧
当阻尼比等于0时
系统的极点是两个共轭虚根 位于虚轴上
当阻尼比小于0时 系统的极点具有正实部
分布在s平面的右半面
我们先来看第一种欠阻尼的情况
阻尼比在0和1之间
此时二阶系统的极点
是一对具有负实部的共轭复根
极点的实部是-ζωn 虚部是jωd
极点距离原点的距离是ωn
定义和阻尼比相关的一个角度θ
如图所示 θ角等于阻尼比的反余弦
阻尼比越小 θ角越大
极点越靠近虚轴
阻尼比越大 θ角越小 极点越靠近实轴
当θ等于0度时 阻尼比等于1
当θ等于45度时 阻尼比等于0.707
当θ角等于90度时 阻尼比等于0
这是欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应表达式
从这个式子可以看出
系统的极点是具有负实部的共轭复根
系统的阶跃响应是衰减振荡的曲线
极点的实部-ζωn
它决定了响应的衰减速度
极点的虚部ωd 它决定了响应的振荡频率
极点的负实部离虚轴越远
响应的衰减速度越快
极点的虚部离实轴越远
响应的振荡频率越高
接下来我们来看第二种过阻尼的情况
阻尼比大于1
此时二阶系统的极点是两个负实根
这是系统的极点分布和单位阶跃响应的情况
系统的极点是两个负实根
响应表达式里边包含有两项指数衰减函数
响应曲线呈单调变化 没有振荡
两个负实极点各对应时域响应中的
一个指数衰减项
其中距离虚轴比较近的那个极点
对应的指数函数衰减得比较慢
它对系统的时域响应速度起着决定性的作用
阻尼比越大 这个极点距离虚轴越近
系统的响应速度越慢
再来看第三种负阻尼的情况 阻尼比小于0
此时二阶系统的极点具有正实部
这是系统的极点分布和时域响应曲线
两个极点具有正实部 位于s平面的右半面
系统的时域响应是发散的 系统不稳定
通过上面的分析 我们可以得到以下几点结论
首先 当系统的极点都分布在s平面左半面时
系统的时域响应是收敛的 系统稳定
当系统存在s右半平面的极点时
系统的时域响应发散 系统不稳定
第二 实根对应的响应是单调的 没有振荡
共轭复根对应的响应是振荡的
极点的负实部决定响应的衰减速度
虚部决定响应的振荡频率
极点的负实部距离虚轴越远
响应的衰减速度越快
极点的虚部距离实轴越远
响应的振荡频率越高
以上我们介绍了
系统的极点位置与瞬态响应的关系
分别以一阶系统
和二阶系统的单位阶跃响应为例
获得了系统的极点位置
与瞬态响应性能的对应关系
这一节的内容就到这里
-课程介绍1
--课程介绍1
-课程介绍2
--课程介绍2
-1.1 控制工程的发展
--控制工程的发展
-1.2 控制系统的分类
--控制系统的分类
-1.3 闭环系统的结构
--控制系统的结构
-第1章课后练习--作业
-2.1 系统的微分方程（一）
-2.2 系统的微分方程（二）
-2.3 Laplace变换的定义
-2.4 Laplace变换的定理
--Video
-2.5 Laplace反变换
--Video
-2.6 Laplace变换法解微分方程
--Video
-2.7 传递函数
--Video
-2.8 传递函数的一般形式
--Video
-2.9 控制系统的方块图
--Video
-2.10 方块图的化简
--Video
-2.11 建立数学模型——温控箱
--Video
-2.12 方块图——直流电机
--Video
-2.13 闭环与开环传递函数
--Video
-第2章 控制系统的动态数学模型--第2章 课后习题
-3.1 时域响应概述
-3.2 一阶系统的瞬态响应
-3.3 二阶系统的瞬态响应
-3.4 极点位置与响应特性的关系
-3.5 高阶系统的瞬态响应
-3.6 瞬态响应性能指标
-第3章 时域瞬态响应分析--第3章 课后练习
-4.1 频域法概述
-4.2.1 频率特性的定义
-4.2.2 频率特性的意义及表示形式
-4.2.3 频率特性的求取
-4.3.1 典型环节的Nyquist图
-4.3.2 Nyquist图的作图方法
-第4章 控制系统的频率特性--第4章 课后练习（一）
-4.4.1 典型环节的Bode图
-4.4.2 一般系统Bode图的作图方法
-4.4.3 最小相位系统的Bode图
-4.5.1 Bode图与传递函数的对应关系
-4.5.2 Bode图与传递函数的对应关系举例
-4.6 系统的开环和闭环频率特性的关系
-第4章 控制系统的频率特性--第4章 课后练习（二）
-5.1 控制系统的稳定性
-5.2 劳斯判据
--5.2 劳斯判据
-5.3 映射定理
--5.3 映射定理
-5.4 Nyquist稳定性判据
-5.5 Nyquist判据具体应用1
-5.5 Nyquist判据具体应用2
-5.5 Nyquist判据具体应用3
-5.6 控制系统的相对稳定性
-第5章 控制系统的稳定性分析--第5章 课后习题
-6.1 闭环控制系统的稳态误差
-6.2 输入引起的稳态误差1
-6.2 输入引起的稳态误差2
-6.3 干扰引起的稳态误差
-6.4 叠加动态特性与输入无关
-第6章 控制系统的误差分析和计算--第6章 课后练习
-7.1 闭环系统瞬态响应与频率特性的关系
-7.2 开环与闭环频率特性的关系
-7.3 开环频率特性与闭环瞬态响应的关系
-7.4 准确性及时频关系例子
-7.5 期望的开环频率特性
-第7章 控制系统的综合与校正--第7章 课后练习（一）
-7.6 控制器——比例、积分
-7.7 控制器——比例-积分
-7.8 控制器——比例-微分
-7.9 控制器——PID
-7.10 直流电机伺服系统
-7.11 最优阻尼比
-7.12 I型最优模型
-7.13 PID控制器的参数计算
-第7章 控制系统的综合与校正--第7章 课后练习（二）
-8.1 计算机控制系统的结构
-8.2 z变换
--8.2 z变换
-8.3 s平面与z平面的映射关系
-8.4 控制器的模拟化设计方法
-第8章 计算机控制系统--第8章 课后练习
