当前课程知识点：控制工程基础 > 第5章 控制系统的稳定性分析 > 5.1 控制系统的稳定性 > 5.1 控制系统的稳定性
同学们好
欢迎进入全新一期的控制工程基础MOOC课程
在这一节里
我们要开始介绍系统的稳定性
首先先来看一下
系统稳定性的基本概念
如果一个系统受到扰动以后
偏离了原来的平衡位置
那么当扰动撤销以后
经过充分长时间后
这个系统能以一定的精度
回到原来的平衡位置
那么这个系统就是稳定的
先看一个单摆的例子
看这个单摆受到扰动以后
能否恢复原来的状态
在水平方向上施加一个扰动
单摆会偏离原来的平衡位置
当这个扰动撤消以后
单摆在重力的作用下
围绕平衡点会反复的震荡
经过一段时间
这个摆又回到了原来的平衡位置
再看倒摆的例子
一旦离开平衡点
即使这个扰动撤销
无论经过多长时间
摆也不会回到原来的平衡位置
所以这个摆是一个稳定的状态
那么倒摆就是一个不稳定的状态
对于一个闭环控制系统
我们也用相同的思路来分析它的稳定性
下面我们介绍闭环控制系统
稳定的充要条件
大家看这样一个闭环控制系统
既有输入也有扰动
要想分析它的稳定性
我们想看一下这个系统
在这个扰动的作用下会有什么样的输出
首先看从扰动到输出的传递函数
可以写成分子是G2(s)
分母是1加上G1(s)乘以G2(s)
再乘以H(s)
也可以写成分子和分母
都是s的多项式的形式
其中的分母就是系统的特征多项式
因为系统的特征多项式与输入无关
这个时候假设干扰信号
是一个单位脉冲函数
我们就要来研究一下这个系统
在单位脉冲函数的作用下
它最终的输出
能否经过长时间以后衰减到0
我们知道单位脉冲函数
它的象函数等于1
输出象函数就等于
系统从干扰到输出的传递函数
根据特征根的情况
也可以表示为这样三类因式的叠加
要想知道系统在单位脉冲干扰信号作用下
输出的时域解
就要对输出象函数进行拉氏反变换
上面输出象函数中有三种形式的因子
那下面分别看每一种形式的象函数
所对应的原函数
第一种s加σ分之一这样的因式
它进行拉式反变换以后
原函数是指数函数
第二种因式进行拉氏反变换以后的原函数
是指数函数与三角函数的乘积
第三种形式的因式经过拉氏反变换以后
同样也是指数函数与三角函数的乘积
我们把这三种形式的原函数合并在一起
其中第二种跟第三种因式
可以合并成一类
那么最终的输出的时域解
就可以表示为这样的两类因式的叠加
从表达式中可以看到
第一种因式是指数函数
第二种因式是指数函数与正弦函数的乘积
如果系统稳定的话
应当是时间趋近于无穷大的时候
输出为0
也就是系统在单位脉冲函数的干扰作用下
它所引起的输出
当时间趋近于无穷大的时候会衰减到零
这样
就要求指数函数的指数小于0
也就是-σi小于0
-ζj乘以ωj也要小于0
那正好这两部分是闭环特征方程根的实部
所以控制系统稳定的充分必要条件是
闭环特征方程的根全部具有负实部
那闭环特征方程的根又叫做闭环的极点
所以也可以称为
闭环极点全部在s平面的左半平面
对于稳定的系统来说
全部的极点都是左极点
那么不稳定的系统它就会右极点
没有右极点但是虚轴上有极点的系统
我们称之为临界稳定的系统
既然控制系统稳定的充要条件
是闭环特征方程的根全部具有负实部
所以 要判断系统稳定性
就要求解闭环特征方程
当闭环特征方程是一阶或二阶的形式
我们可以得到它的解析解
但是当闭环特征方程阶次高的时候
求解它的特征根就变得比较困难
当特征方程的阶次
是五次以及更高次的时候
方程没有一般的代数解法
即由方程的系数
经过有限次四则运算和开方运算求根的方法
这是阿贝尔定理的内容
既然如此
如何判断系统的稳定性
实际上要判断系统的稳定性
并不需要求出特征根的具体值
只要知道特征根实部是否都为负就行了
那在下一节课我们要根据
根与系数的关系来判断系统的稳定性
-课程介绍1
--课程介绍1
-课程介绍2
--课程介绍2
-1.1 控制工程的发展
--控制工程的发展
-1.2 控制系统的分类
--控制系统的分类
-1.3 闭环系统的结构
--控制系统的结构
-第1章课后练习--作业
-2.1 系统的微分方程（一）
-2.2 系统的微分方程（二）
-2.3 Laplace变换的定义
-2.4 Laplace变换的定理
--Video
-2.5 Laplace反变换
--Video
-2.6 Laplace变换法解微分方程
--Video
-2.7 传递函数
--Video
-2.8 传递函数的一般形式
--Video
-2.9 控制系统的方块图
--Video
-2.10 方块图的化简
--Video
-2.11 建立数学模型——温控箱
--Video
-2.12 方块图——直流电机
--Video
-2.13 闭环与开环传递函数
--Video
-第2章 控制系统的动态数学模型--第2章 课后习题
-3.1 时域响应概述
-3.2 一阶系统的瞬态响应
-3.3 二阶系统的瞬态响应
-3.4 极点位置与响应特性的关系
-3.5 高阶系统的瞬态响应
-3.6 瞬态响应性能指标
-第3章 时域瞬态响应分析--第3章 课后练习
-4.1 频域法概述
-4.2.1 频率特性的定义
-4.2.2 频率特性的意义及表示形式
-4.2.3 频率特性的求取
-4.3.1 典型环节的Nyquist图
-4.3.2 Nyquist图的作图方法
-第4章 控制系统的频率特性--第4章 课后练习（一）
-4.4.1 典型环节的Bode图
-4.4.2 一般系统Bode图的作图方法
-4.4.3 最小相位系统的Bode图
-4.5.1 Bode图与传递函数的对应关系
-4.5.2 Bode图与传递函数的对应关系举例
-4.6 系统的开环和闭环频率特性的关系
-第4章 控制系统的频率特性--第4章 课后练习（二）
-5.1 控制系统的稳定性
-5.2 劳斯判据
--5.2 劳斯判据
-5.3 映射定理
--5.3 映射定理
-5.4 Nyquist稳定性判据
-5.5 Nyquist判据具体应用1
-5.5 Nyquist判据具体应用2
-5.5 Nyquist判据具体应用3
-5.6 控制系统的相对稳定性
-第5章 控制系统的稳定性分析--第5章 课后习题
-6.1 闭环控制系统的稳态误差
-6.2 输入引起的稳态误差1
-6.2 输入引起的稳态误差2
-6.3 干扰引起的稳态误差
-6.4 叠加动态特性与输入无关
-第6章 控制系统的误差分析和计算--第6章 课后练习
-7.1 闭环系统瞬态响应与频率特性的关系
-7.2 开环与闭环频率特性的关系
-7.3 开环频率特性与闭环瞬态响应的关系
-7.4 准确性及时频关系例子
-7.5 期望的开环频率特性
-第7章 控制系统的综合与校正--第7章 课后练习（一）
-7.6 控制器——比例、积分
-7.7 控制器——比例-积分
-7.8 控制器——比例-微分
-7.9 控制器——PID
-7.10 直流电机伺服系统
-7.11 最优阻尼比
-7.12 I型最优模型
-7.13 PID控制器的参数计算
-第7章 控制系统的综合与校正--第7章 课后练习（二）
-8.1 计算机控制系统的结构
-8.2 z变换
--8.2 z变换
-8.3 s平面与z平面的映射关系
-8.4 控制器的模拟化设计方法
-第8章 计算机控制系统--第8章 课后练习
