3.6瞬态响应性能指标在线视频

同学们好

这一节我们来介绍时域分析的性能指标

在前面几节里边我们定性地分析了

系统的瞬态响应特性

那么在这一节里边呢

我们将要给出定量

描述时域瞬态响应的性能指标

我们分别要介绍性能指标的定义

性能指标的求取以及性能指标的应用

怎么样对系统的瞬态响应进行定量的描述呢

前面几节里边我们重点地

分析了系统的单位阶跃响应

那么单位阶跃响应

既简单 又能够比较充分地来反映系统的

快速性、稳定性和准确性的情况

所以时域分析性能指标就是以系统

对单位阶跃输入的瞬态响应形式来给出的

那么瞬态响应的性能指标包括

上升时间、峰值时间、调整时间

最大超调量和振荡次数等等

下面我们先介绍一下各个指标的定义

第一个指标上升时间tr

关于上升时间有两种定义方式

第一种定义 上升时间是指

响应曲线从0时刻首次达到稳态值的时间

第二种定义方式呢

上升时间是指响应曲线从稳态值的10%

然后上升到稳态值的90%所需要的时间

第二个指标是峰值时间tp

峰值时间它是指响应曲线从0时刻

上升到第一个峰值点所需要的时间

第三个指标是最大超调Mp

最大超调量它是指

响应曲线的最大峰值和稳态值1之间的差

第四个指标是调整时间ts

调整时间是指响应曲线达到并一直保持在

允许的误差范围内的最短时间

第五个指标是振荡次数

振荡次数它是指在调整时间ts的时间段内

响应曲线振荡的次数

那我们前面介绍了时域性能指标的定义

下面我们要介绍时域性能指标的求取

我们以欠阻尼的二阶系统为例

那么欠阻尼二阶系统

它系统的极点是一对共轭的复根

系统的单位阶跃响应的表达式是下面的形式

我们先求取第一个性能指标上升时间tr

我们定义上升时间是

输出响应首次达到稳态值的时间

那我们就可以根据定义令响应值等于稳态值1

那么响应函数中的正弦函数的值

就应该等于0

所以正弦函数中的角度值应该等于π

所以这样我们就可以求出上升时间的表达式

我们把ωd和θ再代入上面的表达式

那么就可以进一步得到

上升时间的更完整的表达式

接下来我们来求峰值时间tp

峰值时间 它对应的是响应的峰值点

峰值点应该是响应的极值点

所以我们可以令响应函数的导数等于0

然后通过推导

可以得到峰值时间的表达式tp

接下来我们再来求最大超调量Mp

我们把峰值时间tp的结果

代入到单位阶跃响应的表达式里边

那么就可以求出最大超调量的表达式

它是在峰值时间(输出值)和稳态值1之差

就是我们求得的最大超调量Mp

那么最终得到Mp的表达式是这样一个形式

从这个表达式里边我们可以看出来

最大超调量它是由阻尼比ζ唯一决定的

那么这个曲线是

当ωn一定的时候 不同的阻尼比ζ

它对应的时域响应曲线

从这些曲线里我们可以看出来

随着阻尼比的增大

那么系统的最大超调量是逐渐减小的

这是当阻尼比ζ一定的时候 我们取不同的ωn

它对应的时域响应曲线的情况

可以看出来 当阻尼比相同的时候

那么系统的最大超调量也相同

所以我们通过这两组图

可以进一步验证前面的结论

那么最大超调量就是由阻尼比ζ唯一决定的

接下来我们来求取调整时间ts

调整时间是系统进入允许误差范围的最短时间

我们求取的思路是这样的

首先我们写出响应曲线的上下包络线的表达式

然后求出包络线取值进入允许误差范围的时间

并用这个时间来作为系统的调整时间

我们设定允许的误差范围是正负δ

那么令响应的包络线和稳态值的差等于δ

就可以求出调整时间ts的表达式

当阻尼比ζ比较小的时候

那么这个调整时间的表达式

可以做近似的处理

根据这个近似的表达式

如果我们取误差范围δ是5%的时候

那么可以得出调整时间ts

是等于3除以阻尼比ζωn的乘积

当误差范围取为2%的时候

那么调整时间大约是等于

4除以ζωn的乘积

从上面这两个近似的公式我们可以看出来

当阻尼比ζ一定的时候

无阻尼自振角频率ωn越大

那么调整时间ts就越短

这时候系统的响应就越快

但是当阻尼比比较大的时候

前面这两个式的近似程度会降低

另外我们当ωn一定的时候

通过变化阻尼比ζ来求调整时间的极小值

那么可以得出一个结论

当阻尼比ζ等于0.707左右的时候

那么系统的单位阶跃响应的调整时间

ts是最短的

也就是系统的响应是最快的

那么阻尼比小于0.707的时候

随着阻尼比越来越小 调整时间会越来越长

当阻尼比大于0.707的时候 阻尼比越来越大

那么它的调整时间也是越来越长

所以我们把0.707称为系统的最佳阻尼比

那么从二阶系统的极点分布图可以看出来

当取最佳阻尼比ζ等于0.707的时候

那么我们定义的角度θ是等于45度的

也就是说要取得最佳阻尼比

那么极点一定是分布在

θ等于45度这个角度的范围上

那么这个时候我们取得最佳阻尼比0.707

二阶系统的调整时间是最短的

上面我们介绍了时域分析性能指标的求取

和二阶系统的最佳阻尼比

下面我们来总结一下系统的时域性能分析指标

系统的时域性能分析指标

是以阶跃响应的形式给出的

包括上升时间、峰值时间、最大超调量

调整时间和振荡次数

其中上升时间、峰值时间它能够反映

系统的快速性

最大超调量和振荡次数

它能够反映系统的稳定性

调整时间能够综地反映

系统的快速性和稳定性

我们还以欠阻尼的二阶系统为例

求出了性能指标的表达式

当阻尼比ζ比较小的时候

调整时间ts的结果可以进一步地简化

我们取允许的误差范围分别是5%和2%的时候

那么对应的调整时间的近似结果是3倍到4倍

阻尼比ζωn乘积的倒数

当阻尼比ζ等于0.707的时候

系统的调整时间是最短的

因此我们把ζ等于0.707

称为系统的最佳阻尼比

由于系统的响应速度

是由极点距虚轴的距离决定的

所以接下来我们来总结一下调整时间

与极点距虚轴距离之间的近似数量关系

对于一阶系统

极点是一个负实根 等于负T分之一

极点距虚轴的距离等于T分之一

一阶系统的调整时间等于

3或4倍的时间常数T

所以调整时间等于

3或4除以极点距虚轴的距离

对于欠阻尼二阶系统

系统极点的实部是-ζωn

极点距虚轴的距离等于ζωn

所以二阶系统的调整时间近似等于

3或4除以极点距虚轴的距离

因此我们可以得出这样的结论

系统的调整时间

近似等于3或4除以极点距虚轴的距离

当系统的极点具有负实部时

极点距离虚轴越远

系统的阶跃响应调整时间越短

有一点需要注意

我们这里提到极点指的是系统的闭环极点

我们用到的一阶系统和二阶系统的传递函数

指的都是系统的闭环传递函数

因此在求取系统的时域性能指标时

首先要求解系统的闭环传递函数

下面我们通过一个例子

来看一下时域分析的应用

图中给出一个质量-弹簧-阻尼系统

对质量块施加8.9牛顿的阶跃力之后

我们记录了质量块位移的时间响应曲线

根据所给的这个条件

我们来求系统的质量块M

弹性刚度k和粘性阻尼系数D的具体的数值

这个例子实际上是利用系统的时域响应

然后来辨识系统的结构参数

那么根据给定的系统

我们能够建立系统的传递函数模型

在传递函数里边就包含了待辨识的参数信息

另外从给定的阶跃响应里边

我们可以得到系统的

稳态值、最大超调量和峰值时间

这些性能指标

又和系统的传递函数中的参数有关

所以我们可以建立系统的参数

和阶跃响应之间的关系

那么这样就可以求出待求的系统参数

首先我们建立系统的数学模型

根据牛顿第二定律可以写出拉氏变换的方程

对这个方程进行整理

然后最后可以写出系统的传递函数

再把这个传递函数写成二阶系统的标准形式

并且令对应项的系数相等

另一方面

利用拉氏变换的终值定理我们可以求出

在阶跃信号作用下系统的稳态值

那么系统的传递函数

乘以我们输入的阶跃信号 再乘以s

就是利用终值定理

最后求出稳态值

从图上我们可以读出稳态值等于0.03米

这样的话我们就可以求出弹簧的弹性刚度k

再根据最大超调量和峰值时间

我们可以求出二阶系统的标准形式中的

阻尼比ζ和无阻尼自振角频率ωn

根据最大超调量我们求出阻尼比ζ等于0.6

根据峰值时间我们求出无阻尼自振角频率

ωn等于1.96弧度每秒

再通过前面得到的待辨识的参数

和ζ、ωn之间的关系

那么我们可以求出这些待辨识的参数

最终我们可以得到质量M

和粘性阻尼系数D的值

这样的话呢我们整个问题就求解完毕

以上我们通过一个例子

介绍了时域性能指标的应用

那么在此之前我们介绍了

时域性能指标的定义

以及各项指标和系统性能的对应关系

其中最大超调量Mp和调整时间ts

是在工程中最常用的两个时域性能指标

最大超调量它能够反映系统的稳定性

调整时间能够综合地反映系统的

快速性和稳定性

今天课程我们学习了

控制系统的时域瞬态响应分析

着重介绍了一阶系统

和二阶系统的单位阶跃响应

极点位置和瞬态响应的关系

以及时域分析性能指标

好 今天的课程就到这里

我们下次课再见