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这一节课我们来学习应用拉氏变换
求解线性的微分方程
学习了拉氏变换以及反变换
我们再来看一下如何
利用拉氏变换来求解微分方程
已知一个微分方程我们先进行拉氏变换
就可以得到它的象函数的代数方程
再来求解这个代数方程
就能得到我们输出的象函数的表达
再把象函数进行拉氏反变换
就可以得到原函数的形式
下面我们通过一个例子来看一下
假设这个系统的微分方程是这样的
一个二阶的常系数的微分方程
如果我们已知它的输入是一个单位阶跃函数
初始条件也已知
现在来求一下它的输出的时域函数
先对微分方程的左边来进行拉氏变换
左边的第一项是xo(t)的两阶导数
我们根据微分定理就得到
这样的一个象函数的表达
左边的第二项也根据微分定理得到
这样两项的象函数的表达
等式的左边求拉氏变换以后
就得到这样的一个表达式
对方程的右边进行拉氏变换
输入是一个单位阶跃函数
它的象函数的形式是s分之一
从而就得到这样的一个代数方程
经过代数方程求解就得到输出的象函数
是这样的一个表达
我们为了进行拉氏反变换
求得它的原函数的表达式
我们把它进行部分分式分解
写成这样五个因式的叠加
这五个因式的叠加未知数
就是它们对应的留数
A1到A3以及B1和B2
这五个留数怎么求取呢
因为它都是一个单的实数极点的情况
所以A1到A3，B1和B2都可以利用
我们单实数极点的形式求取留数的办法
分别得到它们每一个的值
最终我们这个输出的象函数
就写成这样的五项的象函数的叠加
每一项的象函数我们都可以
查拉氏变换表得到它的原函数的表达
最终我们输出的原函数
就等于这样的一个形式
当初始条件如果为0的时候
它的输出就等于这样三项的叠加
从这个例子可以看到利用拉氏变换来
求解微分方程的时候
由于它的初始条件已经自动地包含在
我们拉氏变换的式子当中
所以我们不需要再根据初始条件
来求积分常数的值就可以得到微分方程的全解
如果我们所有的初始条件为零
那微分方程的拉氏变换就可以简单的用
s的n次方来代替我们的n阶导数
-课程介绍1
--课程介绍1
-课程介绍2
--课程介绍2
-1.1 控制工程的发展
--控制工程的发展
-1.2 控制系统的分类
--控制系统的分类
-1.3 闭环系统的结构
--控制系统的结构
-第1章课后练习--作业
-2.1 系统的微分方程（一）
-2.2 系统的微分方程（二）
-2.3 Laplace变换的定义
-2.4 Laplace变换的定理
--Video
-2.5 Laplace反变换
--Video
-2.6 Laplace变换法解微分方程
--Video
-2.7 传递函数
--Video
-2.8 传递函数的一般形式
--Video
-2.9 控制系统的方块图
--Video
-2.10 方块图的化简
--Video
-2.11 建立数学模型——温控箱
--Video
-2.12 方块图——直流电机
--Video
-2.13 闭环与开环传递函数
--Video
-第2章 控制系统的动态数学模型--第2章 课后习题
-3.1 时域响应概述
-3.2 一阶系统的瞬态响应
-3.3 二阶系统的瞬态响应
-3.4 极点位置与响应特性的关系
-3.5 高阶系统的瞬态响应
-3.6 瞬态响应性能指标
-第3章 时域瞬态响应分析--第3章 课后练习
-4.1 频域法概述
-4.2.1 频率特性的定义
-4.2.2 频率特性的意义及表示形式
-4.2.3 频率特性的求取
-4.3.1 典型环节的Nyquist图
-4.3.2 Nyquist图的作图方法
-第4章 控制系统的频率特性--第4章 课后练习（一）
-4.4.1 典型环节的Bode图
-4.4.2 一般系统Bode图的作图方法
-4.4.3 最小相位系统的Bode图
-4.5.1 Bode图与传递函数的对应关系
-4.5.2 Bode图与传递函数的对应关系举例
-4.6 系统的开环和闭环频率特性的关系
-第4章 控制系统的频率特性--第4章 课后练习（二）
-5.1 控制系统的稳定性
-5.2 劳斯判据
--5.2 劳斯判据
-5.3 映射定理
--5.3 映射定理
-5.4 Nyquist稳定性判据
-5.5 Nyquist判据具体应用1
-5.5 Nyquist判据具体应用2
-5.5 Nyquist判据具体应用3
-5.6 控制系统的相对稳定性
-第5章 控制系统的稳定性分析--第5章 课后习题
-6.1 闭环控制系统的稳态误差
-6.2 输入引起的稳态误差1
-6.2 输入引起的稳态误差2
-6.3 干扰引起的稳态误差
-6.4 叠加动态特性与输入无关
-第6章 控制系统的误差分析和计算--第6章 课后练习
-7.1 闭环系统瞬态响应与频率特性的关系
-7.2 开环与闭环频率特性的关系
-7.3 开环频率特性与闭环瞬态响应的关系
-7.4 准确性及时频关系例子
-7.5 期望的开环频率特性
-第7章 控制系统的综合与校正--第7章 课后练习（一）
-7.6 控制器——比例、积分
-7.7 控制器——比例-积分
-7.8 控制器——比例-微分
-7.9 控制器——PID
-7.10 直流电机伺服系统
-7.11 最优阻尼比
-7.12 I型最优模型
-7.13 PID控制器的参数计算
-第7章 控制系统的综合与校正--第7章 课后练习（二）
-8.1 计算机控制系统的结构
-8.2 z变换
--8.2 z变换
-8.3 s平面与z平面的映射关系
-8.4 控制器的模拟化设计方法
-第8章 计算机控制系统--第8章 课后练习
