当前课程知识点：控制工程基础 > 第3章 时域瞬态响应分析 > 3.3 二阶系统的瞬态响应 > 3.3二阶系统的瞬态响应
同学们好
这一节我们来介绍二阶系统的瞬态响应
典型的二阶系统是二阶振荡环节
这是二阶振荡环节的传递函数
其中ζ称为阻尼比
ωn称为无阻尼自振角频率
这里定义ωn是大于0的
和一阶系统的分析方法类似
接下来我们要分别介绍
二阶系统的单位阶跃响应
单位斜坡响应和单位脉冲响应
下面我们首先来分析
二阶系统的单位阶跃响应
单位阶跃信号
它的拉氏变换是等于s分之一
我们把阶跃信号的拉氏变换
和二阶系统的传递函数相乘
那就可以得到输出信号的拉氏变换Xo(s)
我们观察上面的二阶系统的特征多项式
当阻尼比ζ取不同的值时
那么系统的极点位置也会随之变化
接下来 我们根据二阶系统的
极点分布的特点分五种情况
来讨论二阶系统的单位阶跃响应函数
我们令二阶系统的特征多项式等于0
然后来求系统的极点
当阻尼比ζ取不同的值时
系统的极点分布也会随之变化
第一种情况 当阻尼比ζ在0和1之间的时候
这种情况称为欠阻尼的情况
那么这时候系统的极点是一对共轭的复根
第二种情况 阻尼比ζ是等于1的
我们把它称之为是临界阻尼
这时候系统的极点是双重的负实根
第三种情况 当阻尼比ζ是大于1的时候
我们把这种情况称为过阻尼
那么这时系统的极点是两个负实根
第四种情况 当阻尼比ζ等于0的时候
称为零阻尼
这时候系统的极点是一对共轭的虚根
第五种情况 当阻尼比ζ是小于0的时候
称为负阻尼
这时系统的极点是具有正实部的
我们下边首先来分析第一种欠阻尼的情况
阻尼比是在0和1之间的
这时候二阶系统的极点是一对共轭复根
极点的实部是等于-ζωn
我们定义这个极点的虚部它的值等于ωd
ωd我们把它称为阻尼自振角频率
这样的话极点的表达式就变成下面的形式
系统的传递函数也可以表示成下面的表达式
把分母分解成两个因式
分别和系统的两个极点相对应
系统输出的拉氏变换
等于传递函数和输入信号拉氏变换的乘积
采用部分分式法可以展开成如下三项的和
对上面的表达式进行拉氏反变换
可以得到时域响应函数的表达式
我们定义一个和阻尼ζ有关的角度θ
它是等于阻尼比ζ的反余弦
那么有了这个定义之后
时域响应的表达式
就可以进一步整理成下面的形式
从这个时域响应的表达式
我们可以看出来 时域响应的特点是
以ωd为角频率的衰减振荡的曲线
阻尼比ζ越小 振荡的幅度越大
这是当ωn一定 阻尼比ζ变化的情况下
欠阻尼的二阶系统的阶跃响应曲线
可以看出 当ωn一定的时候
阻尼比ζ越小 振荡幅度越大
振荡频率越高
这是当阻尼比一定 ωn变化的情况下
欠阻尼二阶系统的阶跃响应曲线
我们可以看出 当阻尼比ζ一定的时候
那么系统的振荡幅度是保持不变的
随着ωn的增大 振荡频率逐渐增大
我们接下来看第二种临界阻尼的情况
阻尼比是等于1的
这时候二阶系统的极点是双重的负实根
系统的传递函数
可以简化成下面的形式
系统在阶跃信号的作用下
输出信号的拉氏变换变成下面的表达式
对这个表达式再进行拉氏反变换
就得到系统的时域响应的表达式
这是临界阻尼二阶系统的阶跃响应曲线
这个曲线的特点是 曲线是单调变化的
没有振荡
第三种是过阻尼的情况
阻尼比ζ是大于1的
这时候二阶系统的极点是两个负实根
系统的传递函数可以把它表示成下面的形式
系统在阶跃信号的作用下
输出信号的拉氏变换可以写成下面的形式
再对它进行拉氏反变换我们可以得到
系统的时域响应的表达式
这是过阻尼的二阶系统的阶跃响应曲线
这个曲线的特点 它也是单调变化的
没有振荡
过渡过程时间比刚才的临界阻尼的更长了
第四种零阻尼的情况
阻尼比ζ是等于0的
这时候二阶系统的极点是一对共轭的虚根
系统的传递函数可以简化成下面的形式
那么系统在阶跃信号作用下
输出信号的拉氏变换是下面的表达式
对这个表达式再进行拉氏反变换
我们得到系统的时域响应的表达式
这是零阻尼二阶系统的阶跃响应曲线
我们看这个曲线它是等幅振荡的 没有阻尼
那么系统是处于临界稳定状态的
第五种情况是负阻尼的情况
阻尼比ζ是小于0的
这时候二阶系统的极点是具有正实部了
那么响应表达式的指数项变成正的指数
所以随着时间t趋于无穷大
系统的输出也趋于无穷大
那么系统不稳定
负阻尼情况下响应曲线有两种形式
一种是发散振荡的 一种是单调发散的
下面我们对二阶系统的
单位阶跃响应情况做一个总结
这是五种不同的阻尼比的情况下
二阶系统的单位阶跃响应曲线
分别对应于欠阻尼、临界阻尼、过阻尼
零阻尼和负阻尼五种情况
采用和前面类似的方法
我们还可以得到二阶系统的单位脉冲响应
这是三种不同的阻尼比情况下
二阶系统的单位脉冲响应曲线
分别对应于
欠阻尼、临界阻尼和过阻尼三种情况
这是二阶系统的单位斜坡响应的曲线
包含欠阻尼、临界阻尼和过阻尼三种情况
从这个图里边我们看到
二阶系统的单位斜坡响应是存在稳态误差的
以上就是我们这一节的全部内容
在这一节里边我们介绍了
二阶系统的瞬态响应
包括二阶系统的单位阶跃响应
单位斜坡响应和单位脉冲响应
我们重点分析的二阶系统的单位阶跃响应
我们根据阻尼比的取值
对欠阻尼、临界阻尼
过阻尼、零阻尼和负阻尼
这五种情况分别进行了讨论
那么关于二阶系统的瞬态响应
我们就介绍到这里
-课程介绍1
--课程介绍1
-课程介绍2
--课程介绍2
-1.1 控制工程的发展
--控制工程的发展
-1.2 控制系统的分类
--控制系统的分类
-1.3 闭环系统的结构
--控制系统的结构
-第1章课后练习--作业
-2.1 系统的微分方程（一）
-2.2 系统的微分方程（二）
-2.3 Laplace变换的定义
-2.4 Laplace变换的定理
--Video
-2.5 Laplace反变换
--Video
-2.6 Laplace变换法解微分方程
--Video
-2.7 传递函数
--Video
-2.8 传递函数的一般形式
--Video
-2.9 控制系统的方块图
--Video
-2.10 方块图的化简
--Video
-2.11 建立数学模型——温控箱
--Video
-2.12 方块图——直流电机
--Video
-2.13 闭环与开环传递函数
--Video
-第2章 控制系统的动态数学模型--第2章 课后习题
-3.1 时域响应概述
-3.2 一阶系统的瞬态响应
-3.3 二阶系统的瞬态响应
-3.4 极点位置与响应特性的关系
-3.5 高阶系统的瞬态响应
-3.6 瞬态响应性能指标
-第3章 时域瞬态响应分析--第3章 课后练习
-4.1 频域法概述
-4.2.1 频率特性的定义
-4.2.2 频率特性的意义及表示形式
-4.2.3 频率特性的求取
-4.3.1 典型环节的Nyquist图
-4.3.2 Nyquist图的作图方法
-第4章 控制系统的频率特性--第4章 课后练习（一）
-4.4.1 典型环节的Bode图
-4.4.2 一般系统Bode图的作图方法
-4.4.3 最小相位系统的Bode图
-4.5.1 Bode图与传递函数的对应关系
-4.5.2 Bode图与传递函数的对应关系举例
-4.6 系统的开环和闭环频率特性的关系
-第4章 控制系统的频率特性--第4章 课后练习（二）
-5.1 控制系统的稳定性
-5.2 劳斯判据
--5.2 劳斯判据
-5.3 映射定理
--5.3 映射定理
-5.4 Nyquist稳定性判据
-5.5 Nyquist判据具体应用1
-5.5 Nyquist判据具体应用2
-5.5 Nyquist判据具体应用3
-5.6 控制系统的相对稳定性
-第5章 控制系统的稳定性分析--第5章 课后习题
-6.1 闭环控制系统的稳态误差
-6.2 输入引起的稳态误差1
-6.2 输入引起的稳态误差2
-6.3 干扰引起的稳态误差
-6.4 叠加动态特性与输入无关
-第6章 控制系统的误差分析和计算--第6章 课后练习
-7.1 闭环系统瞬态响应与频率特性的关系
-7.2 开环与闭环频率特性的关系
-7.3 开环频率特性与闭环瞬态响应的关系
-7.4 准确性及时频关系例子
-7.5 期望的开环频率特性
-第7章 控制系统的综合与校正--第7章 课后练习（一）
-7.6 控制器——比例、积分
-7.7 控制器——比例-积分
-7.8 控制器——比例-微分
-7.9 控制器——PID
-7.10 直流电机伺服系统
-7.11 最优阻尼比
-7.12 I型最优模型
-7.13 PID控制器的参数计算
-第7章 控制系统的综合与校正--第7章 课后练习（二）
-8.1 计算机控制系统的结构
-8.2 z变换
--8.2 z变换
-8.3 s平面与z平面的映射关系
-8.4 控制器的模拟化设计方法
-第8章 计算机控制系统--第8章 课后练习
