4.5.2 Bode图与传递函数的对应关系举例在线视频

同学们好

这一节我们通过几个例子

来学习一下Bode图的画法

以及如何根据Bode图求出系统的传递函数

我们先来看第一个例子

已知系统的传递函数

画出系统的Bode图

这是我们前面介绍一般系统的Bode图时

用过的例子

首先把系统的传递函数

写成典型环节乘积的形式

接下来确定首段的斜率和高度

这是一个I型系统

所以首段斜率是-20dB每10倍频程

系统的静态增益是7.5

所以当ω=1时

-20dB每10倍频程斜率线

对应的高度为20lg7.5

这样就画出了Bode图的低频段

接下来再根据几个典型环节

确定转折频率和相应的转折斜率

分子上有一个一阶环节

分母上一个一阶环节和一个二阶环节

它们的转折频率分别是

3，2和根号2rad/s

将所有转折频率按照从低到高的顺序排列

并且标记在频率轴上

首段-20dB每10倍频程的斜率线

一直持续到第一个转折频率根号2rad/s

这个转折频率对应的是二阶振荡环节

使得斜率下降40

斜率变成-60dB每10倍频程

在一直持续到下一个转折频率2rad/s

这个转折频率对应的是一阶惯性环节

使得斜率下降20

斜率变成-80dB每10倍频程

一直持续到第三个转折频率3rad/s

这个转折频率对应的是一阶微分环节

使得斜率上升20

斜率变成-60dB每10倍频程

一直持续到高频段

这样我们就完成了Bode图幅频特性曲线的绘制

接下来要绘制相频特性曲线

我们首先判断系统是不是最小相位系统

我们看这个系统的传递函数中

基本环节的各项系数都是非负数

因此是最小相位系统

根据最小相位系统的相频特性

与幅频特性的对应关系

幅频特性的斜率从低频段的-20dB每10倍频程

变化到高频段的-60dB每10倍频程

所以相频特性的相位应该是从

-90度变化到-270度

以上我们就完成了这个I型系统的Bode图的

幅频特性和相频特性曲线的绘制

下面我们再来看一个例子

画出下面这个传递函数的Bode图

首先还是将传递函数写成典型环节乘积的形式

常数项都化成1

接下来确定首段的斜率和高度

分母上有两个积分环节

所以这是一个II型系统

因此首段的斜率是-40dB每10倍频程

系统的静态增益是等于10

所以当ω=1的时候

-40dB每10倍频程斜率线

对应的高度是20lg10等于20dB

这样我们就画出了Bode图的低频段

下面确定转折频率和相应的转折斜率

分子上和分母上各有一个一阶环节

对应的转折频率分别是1和3rad/s

标记在频率轴上

首段-40dB每10倍频程的斜率线

持续到第一个转折频率1rad/s

这个转折频率对应的是一阶微分环节

使得斜率上升20

斜率变成-20dB每10倍频程

再一直持续到下一个转折频率3rad/s

这个转折频率对应的是一阶惯性环节

使得斜率下降20

斜率变成-40dB每10倍频程

一直持续到高频段

由于这是一个最小相位系统

所以可以根据幅频特性曲线

画出相频特性曲线

幅频特性曲线的斜率从-40dB每10倍频程

变化到-20dB每10倍频程

到高频段又变成-40dB每10倍频程

所以相频特性的相位

从-180度向-90度变化

再变回到-180度

由于-20dB每10倍频程斜率

持续的频率段比较窄

所以相位还没有达到-90度时

就要再向-180度变化

所以可以大致勾画出相频特性曲线

以上我们就完成了这个II型系统的

Bode图的幅频特性和相频特性曲线的绘制

下面我们再来看一个例子

已知系统的开环传递函数形式如下

第一 画出系统的开环幅频特性折线图

第二 根据开环幅频特性折线图

计算与0dB线的交点频率ωc

并且求取开环相频特性在ωc处的相位

首先将传递函数写成典型环节乘积的形式

常数项都化成1

接下来我们确定首段的斜率和高度

这是一个I型系统

因此首段的斜率是-20dB每10倍频程

系统的静态增益是等于10

所以当ω=1时

-20dB每10倍频程斜率线对应的高度是20dB

这样我们就画出了Bode图的低频段

下面确定转折频率和相应的转折斜率

分母上有两个一阶环节

对应的转折频率分别是1和20rad/s

把它标记在频率轴上

首段-20dB每10倍频程的斜率线

持续到第一个转折频率1rad/s

这个转折频率对应的是一阶惯性环节

使得斜率下降20

斜率变成-40dB每10倍频程

一直持续到下一个转折频率20rad/s

这个转折频率对应的是一阶惯性环节

使得斜率再下降20

斜率变成-60dB每10倍频程

一直持续到高频段

这样我们就画出了系统的开环幅频特性折线图

接下来我们根据折线图

计算与0dB线的交点频率ωc

在斜率为-40dB每10倍频程的线段上

我们已知ω=1这个频率点的幅值是20dB

因此可以利用这个条件

来计算出幅值为0dB时的频率值ωc

根据频率比与幅值比之间的关系

我们可以列写出这样的关系式

ω=1这个频率点的幅值20dB

减去ωc这个频率点的幅值0dB

等于40倍的lg 两点的频率之比

可以解出幅频特性曲线

与0dB线交点处的频率ωc是等于3.16rad/s

接下来我们再求取在ωc这个频率点的相位值

根据传递函数的表达式

可以求出相频特性函数的表达式

把ωc=3.16rad/s带入到上面的表达式中

就可以得出

相频特性在ωc处的相位是等于-171度

上面这个例子中

我们画出了系统的开环幅频特性曲线

并且利用幅值与频率比的关系

求出了幅频特性曲线与0dB线交点频率ωc的值

以及在ωc这个频率点上的开环频率特性的相位

掌握以上这类问题的求解方法

对于后续我们在第五章中

我们进行系统的稳定性分析是非常重要的

下面通过一个例子说明一下

如何根据最小相位系统的Bode图

求出系统的传递函数

已知最小相位系统的开环幅频特性曲线

求系统的开环传递函数

首先用0，-20和-40dB每10倍频程

样的斜率的直线

去逼近系统的幅频特性曲线

使得折线与实际幅频特性曲线的误差尽量的小

一般最大误差小于3dB就可以了

在这个例子里

我们首先分别用-20和-40dB每10倍频程斜率的

两条直线分别去逼近

低频段和高频段的幅频特性

起始段和结束段的逼近误差比较小

但是中频段的误差略大

因此我们可以再分别用

-40和-20斜率的两条直线去逼近中频段

使得折线与实际幅频特性曲线的误差小于3dB

这样我们就得到了幅频特性曲线的折线图

接下来根据折线图的形状

确定传递函数表达式的形式

这个系统幅频特性曲线的首段斜率

是-20dB每10倍频程

因此是I型系统

含有一个积分环节

幅频特性曲线有三个转折频率

按照从低到高的顺序

分别对应一阶惯性环节

一阶微分环节和一阶惯性环节

由于已知系统是最小相位系统

所以我们可以写出传递函数的表达式形式如下

接下来要确定传递函数中各个参数的值

幅频特性曲线里面当ω=1时

幅值等于36dB

三个转折频率分别是2，6和50rad/s

根据这些条件

我们可以列出下面的关系式

所以就可以解出静态增益

和各个时间常数的取值

这样我们就可以写出

传递函数的具体的表达式

上面我们通过一个例子

说明了如何根据最小相位系统的幅频特性曲线

求出系统的传递函数

我们要注意

由Bode图求传递函数的时候

应该首先根据相频和幅频特性的对应关系

来确定系统是不是最小相位系统

只有满足最小相位系统的条件时

传递函数中各环节的时间常数

才能确定为非负值

以上我们通过几个例子

介绍了如何根据系统的传递函数画Bode图

以及如何根据最小相位系统的幅频特性曲线

求出系统的传递函数

这一节的内容就到这里