当前课程知识点：控制工程基础 > 第5章 控制系统的稳定性分析 > 5.6 控制系统的相对稳定性 > 5.8 控制系统的相对稳定性
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在这一节我们来介绍
利用乃氏稳定判据来判断系统的相对稳定性
如果系统的开环传递函数没有右极点
闭环系统稳定
那么这个开环频率特性的轨迹
离（-1，j0）点越远
那么闭环稳定性的程度就越高
离（-1，j0）点越近
则闭环的稳定性程度越低
这就是我们所谓的系统的相对稳定性
它是通过开环频率特性
相对于点（-1，j0）的靠近程度来度量的
定量的表示是相位裕量和幅值裕量
下面我们来看相位裕量和幅值裕量的定义
首先看相位裕量的定义
如果开环没有右极点
当ω等于ωc的时候
相频特性距-180度线的相位差γ
叫做相位裕量
其中ωc叫做剪切频率
也就是这一点角频率处的幅值为1
在乃氏图中它是与单位圆的交点频率
或者在开环幅频曲线中与0分贝线的交点频率
如这个图所示
它具有正的相位裕量
它不仅稳定
而且还有相当的稳定储备
它可以在ωc的频率下允许相位再增加γ
才达到临界稳定的条件
对于稳定的系统如图所示
ωc处的相位必定是大于-180度
称为正的相位裕量
那么对于不稳定的系统
如这个图所示
ωc处的相位是必定小于-180度
称为负的相位裕量
求相位裕量的表达式
是ωc处的相位再加180度
在极坐标图中就是乃氏轨迹
与单位圆的交点对负实轴的相位差值
对于稳定的系统
这个交点必定在负实轴以下
反之对于不稳定的系统
这个交点就在负实轴以上
下面我们来再看幅值裕量的定义
当ω等于ω-π的时候
开环频率特性模的倒数称为幅值裕量
我们可以记作Kg
其中ω-π叫做相位交界频率
也就是ω-π处的相位为-180度
在乃氏图中就是与负实轴的交点频率
称为相位的交界频率
在Bode图上还可以把幅值裕量改为分贝值表示
如这个式子所示
当相位裕量大于0
幅值裕量大于1的时候
系统是稳定的
并且它相位裕量和幅值裕量越大
系统的相对稳定性就越好
因为系统的开环Bode如图所示
从图上可以看出剪切频率ωc处
对应的相位是大于-180度
根据相位裕量的定义
那这个系统相位裕量就大于0
相位裕量交界频率处幅值小于0分贝
所以增益裕量大于1
因此这是一个稳定的系统
另外一个系统的开环Bode图如图所示
从图中可以看到剪切频率ωc处
所对应的相位是小于-180度的
所以系统的相位裕量小于0
相位交界频率处的幅值大于0分贝
所以增益裕量小于1
因此这是一个不稳定的系统
再看一个例子
系统的开环乃氏图和Bode图分别如图所示
从这个图中可以看到
这个系统虽然它的相位裕量较大
但是它的增益裕量太小
所以这个系统的相对稳定性比较差
所以判断一个系统的相对稳定性
要同时根据
它的相位裕量和幅值裕量来全面的评价
由于最小相位系统的开环幅频特性
跟相频特性之间存在一定的对应关系
如果相位裕量等于30到60度的话
那就表明这个开环幅频特性
在剪切频率处的斜率
是大于-40分贝每10倍频程的
因此为保证系统有合适的相位裕量
我们一般希望这一段的斜率
最好能等于-20分贝每10倍频程
如果剪切频率处的斜率
等于-40分贝每10倍频程的话
则这个系统可能稳定
也可能不稳定
即使稳定的话它的相对稳定性也很差
如果剪切频率处的斜率
等于-60分贝每10倍频程
或者更陡的话
那这个系统一定闭环不稳定
所以对于最小的相位系统
一般我们只讨论系统的开环幅频特性
就可以判断它闭环的稳定性
下面通过一个例子来说明
如何求系统的相位裕量和幅值裕量
例如这个系统
它的开环传递函数为这样的一个表达式
求当K等于10的时候
系统的相位裕量和幅值裕量
想求相位裕量根据相位裕量的定义
先要求得系统的剪切频率
令系统开环幅频特性等于1
就可以求出剪切频率
如这个表达式所示
但是这个方程是一个六阶的方程
求解起来比较困难
下面我们来通过画系统的开环对数幅频图
来近似的求解剪切频率
那么Bode图如图所示
当ω远远小于1的时候
这个系统开环的频率特性
就近似于这样的一个表达式
那么这个表达式在ω等于1时候的模
就等于10除以5
所以等于2
开环频率特性在ω等于5时候的模
是根据开环对数幅频图中增益频率比
与斜率之间的关系可以求得
它就等于0.08
所以剪切频率就等于这样的一个表示式
最终可以求出等于1.4弧度每秒
有了剪切频率再根据相频表达式
来求剪切频率处的相位
那么带进去以后就是等于这样一个表达式
最终这个时候相位是-160.1度
所以相位裕量就根据相位裕量公式
可以计算求出等于19.9度
下面再求幅值裕量
根据定义先要求相位的交界频率
可以令相频的表达式等于-180度
如式所示
变换成另外一种形式
然后令方程两边同时求正切
就得到了相位交界频率的值
我们再把相位交界频率代入幅频表达式
求出ω-π处的幅值是等于0.333
所以幅值裕量就等于0.333的倒数
也就是等于3
或者可以写成分贝值是9.54分贝
下面我们来总结一下
计算相位裕量的实用的办法
第一步是先做Bode图
然后在幅频图中根据几何关系
来确定它近似的剪切频率
第二是计算剪切频率处的相位
最后一步就根据相位裕量公式
来计算相位裕量
-课程介绍1
--课程介绍1
-课程介绍2
--课程介绍2
-1.1 控制工程的发展
--控制工程的发展
-1.2 控制系统的分类
--控制系统的分类
-1.3 闭环系统的结构
--控制系统的结构
-第1章课后练习--作业
-2.1 系统的微分方程（一）
-2.2 系统的微分方程（二）
-2.3 Laplace变换的定义
-2.4 Laplace变换的定理
--Video
-2.5 Laplace反变换
--Video
-2.6 Laplace变换法解微分方程
--Video
-2.7 传递函数
--Video
-2.8 传递函数的一般形式
--Video
-2.9 控制系统的方块图
--Video
-2.10 方块图的化简
--Video
-2.11 建立数学模型——温控箱
--Video
-2.12 方块图——直流电机
--Video
-2.13 闭环与开环传递函数
--Video
-第2章 控制系统的动态数学模型--第2章 课后习题
-3.1 时域响应概述
-3.2 一阶系统的瞬态响应
-3.3 二阶系统的瞬态响应
-3.4 极点位置与响应特性的关系
-3.5 高阶系统的瞬态响应
-3.6 瞬态响应性能指标
-第3章 时域瞬态响应分析--第3章 课后练习
-4.1 频域法概述
-4.2.1 频率特性的定义
-4.2.2 频率特性的意义及表示形式
-4.2.3 频率特性的求取
-4.3.1 典型环节的Nyquist图
-4.3.2 Nyquist图的作图方法
-第4章 控制系统的频率特性--第4章 课后练习（一）
-4.4.1 典型环节的Bode图
-4.4.2 一般系统Bode图的作图方法
-4.4.3 最小相位系统的Bode图
-4.5.1 Bode图与传递函数的对应关系
-4.5.2 Bode图与传递函数的对应关系举例
-4.6 系统的开环和闭环频率特性的关系
-第4章 控制系统的频率特性--第4章 课后练习（二）
-5.1 控制系统的稳定性
-5.2 劳斯判据
--5.2 劳斯判据
-5.3 映射定理
--5.3 映射定理
-5.4 Nyquist稳定性判据
-5.5 Nyquist判据具体应用1
-5.5 Nyquist判据具体应用2
-5.5 Nyquist判据具体应用3
-5.6 控制系统的相对稳定性
-第5章 控制系统的稳定性分析--第5章 课后习题
-6.1 闭环控制系统的稳态误差
-6.2 输入引起的稳态误差1
-6.2 输入引起的稳态误差2
-6.3 干扰引起的稳态误差
-6.4 叠加动态特性与输入无关
-第6章 控制系统的误差分析和计算--第6章 课后练习
-7.1 闭环系统瞬态响应与频率特性的关系
-7.2 开环与闭环频率特性的关系
-7.3 开环频率特性与闭环瞬态响应的关系
-7.4 准确性及时频关系例子
-7.5 期望的开环频率特性
-第7章 控制系统的综合与校正--第7章 课后练习（一）
-7.6 控制器——比例、积分
-7.7 控制器——比例-积分
-7.8 控制器——比例-微分
-7.9 控制器——PID
-7.10 直流电机伺服系统
-7.11 最优阻尼比
-7.12 I型最优模型
-7.13 PID控制器的参数计算
-第7章 控制系统的综合与校正--第7章 课后练习（二）
-8.1 计算机控制系统的结构
-8.2 z变换
--8.2 z变换
-8.3 s平面与z平面的映射关系
-8.4 控制器的模拟化设计方法
-第8章 计算机控制系统--第8章 课后练习
