当前课程知识点：控制工程基础 > 第2章 控制系统的动态数学模型 > 2.2 系统的微分方程（二） > 控制系统的微分方程（二）
同学们好
欢迎进入全新一期的控制工程基础MOOC课程
直流电动机作为执行机构或者是被控对象
在我们这一个课程中用到的非常多
所以这一节我们把直流电动机
单独拿出来看一下它的微分方程如何来建立
对于这样的一个永磁的直流电动机来说
它的定子是永磁铁
转子是电枢的绕组
我们知道一个通电的线圈在磁场的作用下
是会产生电磁力矩的
从而就会带动电动机来旋转
电动机它应该包括两部分
一部分是电路的部分
一部分是机械的部分
电路的部分就是说
电枢的线圈它应该有电感和电阻
机械的部分
就是电动机的电机轴
有转动惯量还会受到阻尼力矩
所以电机是一个典型的
机电一体化的一个产品
下面如果我们把直流电动机
简化成这样的一个模型
我们来建立一下它的微分方程
根据微分方程建立的步骤
首先我们要分析这个系统的
输入和输出分别是什么
对于直流电动机来说输入是电枢上的控制电压
输出是电动机的转速Ω
当然Ω转速是等于电动机的转角对时间的导数
下面我们根据我们学过的物理定律
来建立它的微分方程
第一个基本方程是电压平衡方程
是这样的一个形式
其中的电流和反电势是我们引入的中间变量
那么第二个方程是电磁力矩与电流之间的关系
它是一个比例关系
比例系数KT叫做电磁力矩系数
第三个方程是根据转动体的牛顿第二定律
我们列写了一个转动惯量与角加速度的乘积
是等于合外力矩的大小
其中这个里面的力矩也是我们引入的中间变量
那么最后一个方程是
反电势的大小与电动机的转速成正比
它的比例系数叫做反电势系数
我们总共引入三个中间变量
电流 反电势和电磁力矩
现在有四个基本方程
下面我们进行消去中间变量的过程
我们从第三个等式
得到电流和电流的微分这样两个等式
那么根据反电势的大小
是与电机的旋转速度成正比
把这三个方程都代到第一个方程里面
最终就可以得到这样的一个微分方程
然后我们进行标准化
与所有输出有关项放在等号的左边
所有与输入有关项放在等号的右边
并且按照导数来降阶排列
那实际上我们是要建立
输入电压和输出转速之间的微分方程
那么现在这个微分方程是
输入电压与输出转角之间的微分方程
我们令这个转速Ω等于转角对时间的导数
那么我们就得到了
输入电压与输出转速Ω之间的微分方程
那么这个微分方程可以看到
它是一个二阶的常系数的微分方程
那么这个微分方程跟我们上一节课所介绍的
质量弹簧阻尼系统的微分方程是非常类似的
所以我们说物理本质不同的系统
可以有相同的数学模型
那么在相同形式的输入下
它的输出响应也是相似的
-课程介绍1
--课程介绍1
-课程介绍2
--课程介绍2
-1.1 控制工程的发展
--控制工程的发展
-1.2 控制系统的分类
--控制系统的分类
-1.3 闭环系统的结构
--控制系统的结构
-第1章课后练习--作业
-2.1 系统的微分方程（一）
-2.2 系统的微分方程（二）
-2.3 Laplace变换的定义
-2.4 Laplace变换的定理
--Video
-2.5 Laplace反变换
--Video
-2.6 Laplace变换法解微分方程
--Video
-2.7 传递函数
--Video
-2.8 传递函数的一般形式
--Video
-2.9 控制系统的方块图
--Video
-2.10 方块图的化简
--Video
-2.11 建立数学模型——温控箱
--Video
-2.12 方块图——直流电机
--Video
-2.13 闭环与开环传递函数
--Video
-第2章 控制系统的动态数学模型--第2章 课后习题
-3.1 时域响应概述
-3.2 一阶系统的瞬态响应
-3.3 二阶系统的瞬态响应
-3.4 极点位置与响应特性的关系
-3.5 高阶系统的瞬态响应
-3.6 瞬态响应性能指标
-第3章 时域瞬态响应分析--第3章 课后练习
-4.1 频域法概述
-4.2.1 频率特性的定义
-4.2.2 频率特性的意义及表示形式
-4.2.3 频率特性的求取
-4.3.1 典型环节的Nyquist图
-4.3.2 Nyquist图的作图方法
-第4章 控制系统的频率特性--第4章 课后练习（一）
-4.4.1 典型环节的Bode图
-4.4.2 一般系统Bode图的作图方法
-4.4.3 最小相位系统的Bode图
-4.5.1 Bode图与传递函数的对应关系
-4.5.2 Bode图与传递函数的对应关系举例
-4.6 系统的开环和闭环频率特性的关系
-第4章 控制系统的频率特性--第4章 课后练习（二）
-5.1 控制系统的稳定性
-5.2 劳斯判据
--5.2 劳斯判据
-5.3 映射定理
--5.3 映射定理
-5.4 Nyquist稳定性判据
-5.5 Nyquist判据具体应用1
-5.5 Nyquist判据具体应用2
-5.5 Nyquist判据具体应用3
-5.6 控制系统的相对稳定性
-第5章 控制系统的稳定性分析--第5章 课后习题
-6.1 闭环控制系统的稳态误差
-6.2 输入引起的稳态误差1
-6.2 输入引起的稳态误差2
-6.3 干扰引起的稳态误差
-6.4 叠加动态特性与输入无关
-第6章 控制系统的误差分析和计算--第6章 课后练习
-7.1 闭环系统瞬态响应与频率特性的关系
-7.2 开环与闭环频率特性的关系
-7.3 开环频率特性与闭环瞬态响应的关系
-7.4 准确性及时频关系例子
-7.5 期望的开环频率特性
-第7章 控制系统的综合与校正--第7章 课后练习（一）
-7.6 控制器——比例、积分
-7.7 控制器——比例-积分
-7.8 控制器——比例-微分
-7.9 控制器——PID
-7.10 直流电机伺服系统
-7.11 最优阻尼比
-7.12 I型最优模型
-7.13 PID控制器的参数计算
-第7章 控制系统的综合与校正--第7章 课后练习（二）
-8.1 计算机控制系统的结构
-8.2 z变换
--8.2 z变换
-8.3 s平面与z平面的映射关系
-8.4 控制器的模拟化设计方法
-第8章 计算机控制系统--第8章 课后练习
