当前课程知识点：控制工程基础 > 第8章 计算机控制系统 > 8.3 s平面与z平面的映射关系 > 8.3 s平面与z平面的映射关系
同学们好
这一讲我们讨论脉冲传递函数
以及s平面和z平面的映射关系
首先一个概念 差分方程
我们已经知道在模拟系统中
我们是用微分方程来表示系统的模型
在离散的时间系统中
我们用差分方程来表示
比如说我们用y表示一个环节的输出
用u表示这个环节的输入
那么我们可以写出这样一个式子
我们举一个例子
比如说y(kT)=0.9y(kT-T)+0.1u(kT)
比如说y(kT)=0.9y(kT-T)+0.1u(kT)
这就是一个最简单的差分方程
下面一个概念是脉冲传递函数
它指的是在初始条件为0的情况下
系统输出脉冲序列的z变换
Y(z)与输入脉冲序列的z变换U(z)之比
也就是我们把它写成
G(z)=Y(z)/U(z)
脉冲传递函数就像传递函数一样
反映了一个离散系统
输入与输出之间的动态特性
我们考虑这样一种情况
假设这个输入信号u是一个单位脉冲
那它的z变换等于1
所以它的输出信号的z变换
就是这个系统的脉冲传递函数
对于一个一般形式的差分方程
就像这个式子所表示的
假设初始条件是0
我们对它两边分别取z变换
比如说对其中的这一项
a1×y(kT+nT-T) 做z变换
它变换的结果应该等于
a1×Y(z)×z^(n-1)
我们对差分方程中的每一项都做z变换以后
根据脉冲传递函数的定义
我们就会得到这个脉冲传递函数
是关于z的两个多项式的比
我们让分母多项式等于0得到一个方程
这个方程的解我们叫做系统的极点
分子多项式等于0
得到方程的解我们叫系统的零点
就像传递函数一样
下面我们讨论s平面和z平面的映射关系
我们在做z变换定义的时候用到这个关系
z=e^(sT) 也就是说
在s平面上任意取一个点
通过这个关系就会映射到z平面上一个点
假设这个s等于σ+jω
那经过映射以后
z=e^(σT)×e^(jωT)
比如说s平面的虚轴它映射到z平面上
是什么样的一条曲线呢
虚轴σ等于0
那z的模就应该等于1
所以s平面的虚轴映射到z平面上的单位圆
s平面右半平面呢
在s平面的右半平面上σ大于0
那e^(σT)它的模就应该大于1
所以s平面的右半平面
映射到z平面的单位圆外
s平面的左半平面σ是小于0的
映射到z平面是e^(σT) 它就应该小于1
所以s平面的左半平面
映射到z平面的单位圆内
我们进一步地分析一下
假设s平面上有一个复数s2
它等于s1±j×2π/T×N
其中的N等于0，1，2等等
那s2经过映射以后
得到的结果是在哪个点呢
我们看s2和s1的差别
是在它的虚部差了2π/T×N
那经过z=e^(sT)的映射
也就是它的相位上会差2π的N倍
所以s1和s2映射到的会是同一个点
也就是说s平面左半平面上
每隔2π除以T的这样一个带子
都会映射到单位圆内
我看这样一个图形
在s平面上四个象限
我们分别用绿 黄 紫 青四种颜色表示1到4象限
它的虚部我们限定在
±π/T这个范围内
s平面的右半平面映射到单位圆外
它的虚部为正的时候
映射过去它的幅角为正
所以我们就可以看到这四个象限
分别映射到z平面以后的图形
再比如说s平面上
这个三角形的阴影所表示的范围
映射到z平面上是这样一个图形
这个环形阴影所表示的范围
映射到z平面上是这样一个图形
我们讨论一下线性离散系统的稳定性
一个模拟的系统闭环稳定的充要条件
是它的极点都在s平面的左半平面
那我们根据
s平面和z平面的映射关系就可以知道
如果一个离散系统要是稳定的
它就必须所有的极点都在z平面的单位圆内
一旦有极点在z平面的单位圆外
那这个系统就是不稳定的
如果这个系统的极点
有一部分在单位圆内还有一部分在单位圆上
那这个系统就是临界稳定的
另外我们讨论一下这些极点的位置
它所代表的意义
在s平面上的极点
它的实部会决定系统衰减的速度
虚部决定系统振荡的角频率
那么在z平面上的极点呢
它的模就决定了衰减的速度
它的相角就决定了振荡的角频率
极点越接近于原点
那输出信号就衰减的越快
极点的相角越接近于±π
那振荡的角频率就越高
我们考虑一下在极点位置不同情况下
它的动态响应特性
比如说这样一个脉冲传递函数
Y(z)等于(z-a)分之z
它的单位脉冲响应是a的k次方
如果这个极点是在正实轴上
但是在单位圆外
那么随着时间这条响应曲线就会发散
如果a等于1那它的脉冲响应曲线
是这样一个阶跃的图形
如果a是在0到1之间
那它会得到一条衰减的曲线
如果一个系统是二阶系统
它有一对极点
但是这对极点是在单位圆上
那它的单位脉冲响应曲线
就是一个等幅震荡的曲线
如果这一对极点是在单位圆内
它就是一个衰减振荡的响应曲线
-课程介绍1
--课程介绍1
-课程介绍2
--课程介绍2
-1.1 控制工程的发展
--控制工程的发展
-1.2 控制系统的分类
--控制系统的分类
-1.3 闭环系统的结构
--控制系统的结构
-第1章课后练习--作业
-2.1 系统的微分方程（一）
-2.2 系统的微分方程（二）
-2.3 Laplace变换的定义
-2.4 Laplace变换的定理
--Video
-2.5 Laplace反变换
--Video
-2.6 Laplace变换法解微分方程
--Video
-2.7 传递函数
--Video
-2.8 传递函数的一般形式
--Video
-2.9 控制系统的方块图
--Video
-2.10 方块图的化简
--Video
-2.11 建立数学模型——温控箱
--Video
-2.12 方块图——直流电机
--Video
-2.13 闭环与开环传递函数
--Video
-第2章 控制系统的动态数学模型--第2章 课后习题
-3.1 时域响应概述
-3.2 一阶系统的瞬态响应
-3.3 二阶系统的瞬态响应
-3.4 极点位置与响应特性的关系
-3.5 高阶系统的瞬态响应
-3.6 瞬态响应性能指标
-第3章 时域瞬态响应分析--第3章 课后练习
-4.1 频域法概述
-4.2.1 频率特性的定义
-4.2.2 频率特性的意义及表示形式
-4.2.3 频率特性的求取
-4.3.1 典型环节的Nyquist图
-4.3.2 Nyquist图的作图方法
-第4章 控制系统的频率特性--第4章 课后练习（一）
-4.4.1 典型环节的Bode图
-4.4.2 一般系统Bode图的作图方法
-4.4.3 最小相位系统的Bode图
-4.5.1 Bode图与传递函数的对应关系
-4.5.2 Bode图与传递函数的对应关系举例
-4.6 系统的开环和闭环频率特性的关系
-第4章 控制系统的频率特性--第4章 课后练习（二）
-5.1 控制系统的稳定性
-5.2 劳斯判据
--5.2 劳斯判据
-5.3 映射定理
--5.3 映射定理
-5.4 Nyquist稳定性判据
-5.5 Nyquist判据具体应用1
-5.5 Nyquist判据具体应用2
-5.5 Nyquist判据具体应用3
-5.6 控制系统的相对稳定性
-第5章 控制系统的稳定性分析--第5章 课后习题
-6.1 闭环控制系统的稳态误差
-6.2 输入引起的稳态误差1
-6.2 输入引起的稳态误差2
-6.3 干扰引起的稳态误差
-6.4 叠加动态特性与输入无关
-第6章 控制系统的误差分析和计算--第6章 课后练习
-7.1 闭环系统瞬态响应与频率特性的关系
-7.2 开环与闭环频率特性的关系
-7.3 开环频率特性与闭环瞬态响应的关系
-7.4 准确性及时频关系例子
-7.5 期望的开环频率特性
-第7章 控制系统的综合与校正--第7章 课后练习（一）
-7.6 控制器——比例、积分
-7.7 控制器——比例-积分
-7.8 控制器——比例-微分
-7.9 控制器——PID
-7.10 直流电机伺服系统
-7.11 最优阻尼比
-7.12 I型最优模型
-7.13 PID控制器的参数计算
-第7章 控制系统的综合与校正--第7章 课后练习（二）
-8.1 计算机控制系统的结构
-8.2 z变换
--8.2 z变换
-8.3 s平面与z平面的映射关系
-8.4 控制器的模拟化设计方法
-第8章 计算机控制系统--第8章 课后练习
