柯尔莫哥洛夫与概率公理

安德列 \( \cdot \) 柯尔莫哥洛夫（1903年4月25日－1987年10月20日），20世纪苏联最杰出的数学家，也是20世纪世界上为数极少的几个最有影响的数学家之一。他的研究几乎遍及数学的所有领域，做出许多开创性的贡献。

柯尔莫哥洛夫热爱生活，兴趣广泛，喜欢旅行、滑雪、诗歌、美术和建筑。柯尔莫哥洛夫对于俄国古建筑、俄国诗歌、世界雕塑、绘画等都有渊博的知识。

他在随机数学------概率论方面的主要成就如下：

1924年他念大学四年级时就和当时的苏联数学家辛钦一起建立了关于独立随机变量的三级数定理。1928年他得到了随机变量序列服从大数定理的充要条件。1929年得到了独立同分布随机变量序列的重对数律。1930年得到了强大数定律的非常一般的充分条件。1931年发表了《概率论的解析方法》一文，奠定了马尔可夫过程论的基础，马尔可夫过程在物理、化学、生物、工程技术和经济管理等学科中有十分广泛的应用，仍然是当今世界数学研究的热点和重点之一。1932年得到了含二阶矩的随机变量具有无穷可分分布律的充要条件。1933年出版了《概率论基础》一书，在世界上首次以测度论和积分论为基础建立了概率论公理结论，这是一部具有划时代意义的巨著，在科学史上写下原苏联数学最光辉的一页。1935年提出了可逆对称马尔可夫过程概念及其特征所服从的充要条件，这种过程成为统计物理、排队网络、模拟退火、人工神经网络、蛋白质结构的重要模型。1936---1937年给出了可数状态马尔可夫链状态分布。

1939年定义并得到了经验分布与理论分布最大偏差的统计量及其分布函数。上世纪30～40年代他和辛钦一起发展了马尔可夫过程和平稳随机过程论，并应用于大炮自动控制和工农业生产中，在卫国战争中立了功。1941年他得到了平稳随机过程的预测和内插公式。1955---1956年他和他的学生，苏联数学家Y。V。Prokhorov开创了取值于函数空间上概率测度的弱极限理论，这个理论和苏联数学家A。B。Skorohod引入的D空间理论是弱极限理论的划时代成果。

1933年，柯尔莫哥洛夫将概率论实现公理化，他提出了三条概率公理。

[定义] 设 \( \Omega \) 是随机试验 \( E \) 的样本空间，\( F \) 是 \( \Omega \) 中任意子集合（即事件）组成的集合，称为事件域，\( P \) 是随机试验 \( E \) 下定义在 \( F \) 上的实值集合函数（测度），即 \( P:F\mapsto[0,\;1] \)，如果 \( P \) 满足：

公理1（非负性） \( P(A)\ge 0 \)；

公理2（规范性） \( P(\Omega )=1 \)；

公理3（可列可加性） \( P(\sum\limits_{i=1}^{+\infty } {A_i })=\sum\limits_{i=1}^{+\infty } {P(A_i )} \)。

其中事件 \( A_1 ,A_2 ,\cdots ,A_i,\cdots \) 是两两互斥的，则称 \( P(A) \) 为事件 \( A \) 的概率。在概率论体系里，\( \Omega ,F \) 和概率 \( P \) 三元素就构成了概率的全部，称 \( (\Omega,F,P) \) 为概率空间。

利用概率的公理化定义（非负性、规范性和可列可加性）可以导出概率的一系列性质，其中，有一般的加法公式：

\[ P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(AB) \]

\[ P(\sum\limits_{i=1}^n {A_i } )=\sum\limits_{i=1}^n {P(A_i )} -\sum\limits_{\begin{array}{l} i,j=1 \\ i\ne j \\ \end{array}}^n {P(A_i A_j )} +...+(-1)^{n-1}P(A_1 A_2 ...A_n ) \]

概率论与数理统计课程列表：

第1章随机事件与概率

-课程发展概况及概率的三要素

--课程发展概况及概率的三要素(刘琼荪)--9:09min

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柯尔莫哥洛夫与概率公理

概率论与数理统计课程列表：

第1章 随机事件与概率

第2章 一维随机变量及其分布

第3章 多维随机变量及其分布

第4章 随机变量的数字特征

第5章 极限定理

第6章 数理统计的基本概念

第7章 参数估计

第8章 假设检验

第9章 回归分析

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