当前课程知识点：概率论与数理统计 > 第1章 随机事件与概率 > 条件概率与乘法公式 > 拓展知识
假设有一类有奖销售食品，通常的做法是将一袋封闭包装的食品中放入一张赠券，其规则是有 \( n \) 张不同花样的赠券为一套，只要谁收齐一套就可获大奖。求购买 \( k(k>n) \) 袋食品收齐一套赠券的概率。
问题分析及求解：
设 \( B \) =``购买的 \( k \) 袋食品收集齐一套赠券''，\( A_i
\) =``购买的 \( k \) 袋食品中收集到第 \( i \) 张赠券''，则 \( B=\mathop \cap \limits_{i=1}^n
A_i \)，用计算概率的加法公式：
\[
P(\bar {B})=P(\mathop \cup \limits_{i=1}^n \bar {A}_i )=\sum\limits_{i=1}^n
{P(\bar {A}_i )} -\sum\limits_{i\ne j} {P(\bar {A}_i \bar {A}_j )} +\cdots
+(-1)^{n-1}P(\bar {A}_1 \bar {A}_2 \cdots \bar {A}_n )
\]
根据古典概率的计算方法，归纳计算如下：
\[\begin{array}{l}
P(\bar {A}_i )=(\frac{n-1}{n})^k, i=1,2,\cdots ,n\\
P(\bar {A}_i \bar {A}_j )=P(\bar {A}_i )P(\bar {A}_j \vert \bar {A}_i
)=(\frac{n-1}{n})^k\cdot (\frac{n-2}{n-1})^k=(\frac{n-2}{n})^k, i\ne
j,i,j=1,2,\cdots ,n\\
P(\bar {A}_i \bar {A}_j \bar {A}_k )=(\frac{n-3}{n})^k, i\ne j\ne
k,\quad i,j,k=1,2,\cdots ,n\\
{\ldots}{\ldots}\\
P(\bar {A}_1 \bar {A}_2 \cdots \bar {A}_n )=(\frac{n-n}{n})^k=0
\end{array}
\]
所以
\begin{eqnarray}
P(\bar {B})&=&P(\mathop \cup \limits_{i=1}^n \bar {A}_i )\\
&=&C_n^1
(\frac{n-1}{n})^k-C_n^2 (\frac{n-2}{n})^k+C_n^3 (\frac{n-3}{n})^k-\cdots
+(-1)^{n-1}C_n^{n-1} (\frac{1}{n})^k\\
&=&\sum\limits_{i=1}^n {(-1)^{i-1}C_n^i (\frac{n-i}{n})^k}
\end{eqnarray}
故
\[
P(B)=1-P(\bar {B})=1-\sum\limits_{i=1}^n {(-1)^{i-1}C_n^i (\frac{n-i}{n})^k}
\]
思考：
1. 当 \( n \) =5，10，20时，收齐50袋食品收齐一套赠券的概率；
2. 如何设置赠券数 \( n \)，使得购买50袋食品收齐一套赠券的概率至少超过90%？
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