当前课程知识点：概率论与数理统计 > 第8章 假设检验 > 正态总体均值的检验 > 拓展知识
在一些实际问题中，遇到的样本数据不一定来自正态总体，例如，心脏病患者的搭桥手术成功率 \( p\ge
0.8 \) 的假设检验，高峰时期某路段单位时间内评价通过的车辆数 \( \lambda \ge
0.8 \) （辆/秒）的假设检验等问题，它们的抽样数据都不是来自正态总体的，应该如何假设检验呢？
请看下面的应用案例。
例：假设在某超市的某柜台处相邻两名顾客结账的间隔时间（单位：分钟）服从指数分布。过去的资料显示，结账的平均间隔时间是1.2分钟。表1是最近这一柜台的40个结帐间隔时间数据，其平均间隔时间约为0.85分钟。试问能否认为该柜台结账的平均间隔时间比以往的评价间隔时间1.2分钟明显地减少了？（ \( \alpha =0.05 \) ）
\[\mbox{表1 最近某柜台40个结账间隔时间数据（单位：分钟）}\]\[\begin{array}{|l|l|l|l|l|l|l|l|l|l|}
\hline
0.33&
0.10&
1.07&
0.16&
0.04&
0.02&
0.54&
2.33&
1.63&
0.40 \\
\hline
0.33&
0.10&
1.07&
0.16&
0.04&
0.02&
0.54&
2.33&
1.63&
0.40 \\
\hline
1.56&
1.09&
1.29&
0.64&
3.53&
0.09&
2.20&
1.04&
0.77&
2.62 \\
\hline
0.59&
1.10&
0.78&
0.21&
0.44&
0.30&
0.93&
0.23&
0.76&
0.57 \\
\hline
\end{array}
\]
有如下两种检验法。
方法一 ：设在这个柜台结帐的间隔时间为 \( X \) （单位：分钟），由题意知，\( X \) ～ \( \Gamma
(1,\lambda ) \) 。
检验问题为 \( H_0 :EX\ge 1.2,\ H_1 :EX<1.2 \)。
因为 \( EX=\frac{1}{\lambda } \)，不妨令 \( \frac{1}{\lambda _0
}=1.2 \)，所以问题转换为
\[H_0 :EX\ge \frac{1}{\lambda _0
},H_1 :EX<\frac{1}{\lambda _0 }
\]或者
\[H_0 :\lambda _0 EX\ge
1,H_1 :\lambda _0 EX<1
\]由于 \( \hat {E}X=\bar
{X} \)，所以检验统计量为 \( \lambda _0 \bar {X} \)，拒绝域的形式为
\[\mathscr{X}_0=\{\lambda _0
\bar {X}<C\}
\]其中 \( C \) 为需要由显著水平 \( \alpha \) 和 \( \bar
{X} \) 的分布来确定的阈值。
由指数分布与卡方分布的关系知，可以证明 \( 2\lambda X\sim \chi
^2(2) \) （同学们可自行推导）。
由卡方分布的线性不变性知，在 \( X_1 ,X_2,\cdots ,X_n \) 是来自总体 \( \Gamma (1,\lambda
) \) 的样本的条件下，\( 2\lambda \sum\limits_{i=1}^n {X_i } \sim \chi
^2(2n) \)，即在 \( H_0 :\lambda _0 EX=1 \) 的条件下，\( 2\lambda _0 n\bar {X}\sim \chi
^2(2n) \)。
给定显著水平 \( \alpha \)，拒绝域为
\[\mathscr{X}_0=\{2\lambda _0 n\bar {X}<\chi _\alpha ^2
(2n)\}
\]由表1的数据可知，\( n=40,\;\;\bar {x}\approx 0.85 \)，计算 \( 2\lambda _0 n\bar
{x}\approx 56.67 \)。另一方面，查表，\( \chi _{0.05}^2 (80)\approx
60.39 \)，显然，样本统计值落入拒绝域内，因此拒绝 \( H_0
\)，可以认为在这个柜台结账的平均间隔时间比1.2分钟更少了。
方法二： 利用中心极限定理知
\[
\frac{\bar {X}-\frac{1}{\lambda }}{\frac{1}{\lambda }}\sqrt n =\sqrt n
\left( {\lambda \bar {X}-1}
\right)\xrightarrow[\quad n\to \infty\quad]{P} N(0,1)
\]因此选择 \( \sqrt n \left( {\lambda \bar {X}-1}
\right) \) 作为该问题的检验统计量，拒绝域为
\[\mathscr{X}_0=\{\sqrt n \left( {\lambda \bar
{X}-1} \right)<u_\alpha \}
\]其中 \( u_\alpha \) 为标准正态分布的 \( \alpha
\) 分位数。则检验统计量的样本值
\[
u=\sqrt n \left( {\lambda _0 \bar {x}-1} \right)=\sqrt {40} \times \left(
{\frac{0.85}{1.2}-1} \right)\approx -1.845<-1.65=u_{0.05}
\]检验结果仍然是拒绝原假设 \( H_0 \)，得出的结论与方法一完全一致。
方法二是常用的方法。
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