当前课程知识点：线性系统理论 > 第三周（第二部分：线性系统的时域理论）：系统的状态空间描述（二）、系统的运动分析及稳定性 > LST1-6-5 线性定常系统的坐标变换及其特征（五） > 视频
我们接下来会讨论一下比较复杂的情况
也是更一般的情况
就是这个A矩阵特征值里有重根的时候
这个时候我们考虑的情况
就需要引入我们前边所介绍到的
不光是特征向量
还要引入广义特征向量来参与进行构造变换阵
那么结论是什么呢
就是说这种情况底下
我们通过适当的坐标变换
最后导出的标准形式称为约当标准型
这个约当标准型的形式不是对角线的形式
但是它跟对角线差别并不算太大
它是分块对角线
就是J1 J2一直到Jk这样的形式
通过坐标变换阵T的选取
可以做到让A~具有分块对角的形式
除了对角上k块是非零的 其他地方全是零
每一块都称为一个约当块
每一块又是什么形式呢
这每一块和对角型稍微差了一点点
它是以特征值λj为对角元素 这没错 跟原来一样
但是它的副对角线 上面这条副对角线上全是1
这种情况我们把它称为一个约当块
我们变出来的整体的形状
就是准对角型或者叫分块对角型
我们把它称为约当标准型
这里边它的块有多大有几块
全都跟重根的分布情况有关
我们结合后面的例子大家来探讨
在这里边我们所要强调的
后面可能不一定举例了
我们结合具体的情况来看一下
现在对于变换阵 同样核心的问题还是怎样找变换阵
我刚才其实已经稍微提到了一下
就是原来单根的情况
我们用的是它的特征向量来构成变换阵
现在我们考虑特征向量还是要做推广
因为特征值重复了
所以我们同样可以证明的就是
再也不能找到n个独立的或者线性无关的特征向量
也就是t矩阵不能直接套用对角化的方法来直接用
你能做的是什么
对于m1乘的一个特征根 比如λ1
你只能得到一个它的特征向量p1
那剩下还缺多少呢
还缺m1-1个
比如说p2 p3一直到pm1这变换阵里这些列你得不到
你还没有求出来
但是我们只能想办法
通过其他的线性无关的向量
在p1的基础上找p2到pm1 给它补全了
让整体上能得到的仍然是一个非歧义的变换阵
最终还是为了得到约当标准型
那我们怎么去找这些p2到pm1呢
我刚才讲到 我们的思路还是去找广义特征向量
但是具体怎么个找法
或者为什么找广义特征向量呢
在这我们把问题稍微做点深入的分析
我们首先明确目标
就是aλ是具有约当标准型的形式
就是分块对角型 每个分块都是一个约当块
我们一般来说从代数上处理问题有一个基本的思路
就是当你不知道这个事情改怎么办的时候
你用一个未知量把它设出来 然后列个方程
通过求解方程我们可以把未知的给解出来
我们在这也套用类似的思路
就是变换阵我不知道该怎么选
尤其是变换阵里除了特征向量外其他的不知道怎么选
那就把它设出来 设这些变量为p1到pm1
把这个矩阵 仍然作为t代入到最终的目标里去
让A~=T^(-1)*A*T
那显然就是AT=T*A~
把它展开
这个时候把T也带进来变成分量的形式
那我么着重看地一个约当块所对应的模块
这是一个m1重根
λ1是m1重根的话
它对应的约当块是一个m1乘以m1的上三角的矩阵
对角线上是λ1 副对角线上是1
我们把这块着重来看 放到方程里
A乘以T就是A乘以p1 p2一直到pn
等于谁呢 等于T乘以约当标准型
那么T就是p1 p2一直到pn
它乘以约当块 我们把它分块乘出来
我就研究它的前m1例
研究第二列到第m1列
会看到什么呢
A乘以P1一直到pn的话
我分块乘 就变成了A*p1 A*p2一直到A*pm1
我现在看看A*p2等于谁
A*p2在左边是一列
在右边也是一列
那这一列乘出来是谁呢
我把p1到pn乘到约当块的列里面去以后
我发现它其实是A*p2=p1+λ1p2
也就是说除了p1的贡献和p2的贡献
其他所有列的贡献全部都是零
因为这一列对应的全是零
同样的 Ap3我们可以知道是p2+λ1*p3
一直到Apm1=pm1-1+λ1×pm1
这样的一个递推关系
我现在知道p1是属于λ1的A的特征向量
我现在看到p2是谁呢
p2是满足A*p2=p1+λ1*p2
这就给我提示了一个条件
就是p2不能随便选
当你把p1选定以后
特征值λ知道的时候 p2没得跑 只能是谁呢
只能去解这边的方程 是A-λ1i*p2=p1
要求这个方程的解
显然通过这个方程我们就可以看到些什么呢
首先A-λ1*i这个矩阵乘以p2肯定不等于零
因为p1是个特征向量 不是零向量
但是我们看A-λ1i的平方乘以p2就等于零了
这一点实际上也是可以证明的
但是我们在这重点的是
确定p1 p2一直到pm1-1
那我们可以根据刚才我们列的关系
Ap3一直到Apm1的组合的形式
我们看到一旦确定了p2
我们就可以继续确定p3一直到pm1
这样的话根据这个方程我们可以知道
我们虽然不能直接猜出来p2一直到pm1-1
但是我们可以通过待定系数的方法 通过方程给出来
求出p2一直到pm1
而这些恰好就是我们的广义特征向量
属于λ1的广义特征向量
于是我们就得到了一个基本的方法
如果我把每个特征值和每个特征块相挂钩的这些特征值
它的特征向量和广义特征向量按照乘数分别都求出来以后
那就可以得到一个变换阵T
而这个变换阵T的变换效果恰恰给出来的是A~
也就是我要求的约当标准型的形式
到此我就给大家介绍了关于A是重根的情况
我们怎样得到它的约当标准型的坐标变换的方法
也给出了具体的变换阵
我们看到广义特征向量在这发挥的作用
我们整个单元就全部结束了
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