当前课程知识点：线性系统理论 > 第三周（第二部分：线性系统的时域理论）：系统的状态空间描述（二）、系统的运动分析及稳定性 > LST2-5-1 系统的外部稳定性 > 视频
接下来我们来介绍这个系统的外部稳定性
也是作为我们这个运动分析的一个应用吧
那么这里面
我们所讨论的这个系统的外部稳定性
指的是从输入输出关系来看
就是把系统当做一个黑箱
那么这种情况 我们主要关注的是
这个稳定性体现在
事实上 我们一个有界的输入信号
在什么条件下 能够得出来有界的输出信号
或者把它称为BIBO稳定这样一个概念
它的定义是这样子的
就是说在初始条件为零 也就是零初态的情况下
如果对于一个任意的有界的输入型号u(t)
也就是满足u(t)的这个范数小于等于β1这个常数
不管这个t是多少 那么就是一致的一个的有界的信号
那么对应的这个输出
经过系统的这个输出信号y(t) 也都是有界的
这个也是说y(t)的范数是一致地小于某个β2这个常数
不管是对什么样的时间
那么 我们就把这个线性定常系统就称为是输入输出有界
或者叫外部稳定 也是从外特性上看出稳定的
那么这个线性定常系统的外部稳定性
实际上是可以通过脉冲响应矩阵满足的性质来判断
那么也可以通过传递函数矩阵的这个极点来判断
我们下边 就给出这个具体如何来判断的条件
我们前面也讲过
这个H(t)代表的是这个系统的脉冲响应矩阵
我们如果把这个矩阵的元称为h ij（t）的话
那么这个时候 我们给出来这个系统
是一个对于有界的输入总是得到有界输出的
这样一个外部稳定的充分必要条件是什么
就是它的这个脉冲响应矩阵每个元素是绝对可积的
作成数学表达式 就是hij(t)
按照它的绝对值来说
在时间上 从零积到无穷的这个积分
它是小于一个常数的
那么是有界的 这叫绝对可积
那么如果它的这个每个元都是绝对可积的话
我们就说这个外部稳定条件就成立了
这是用脉冲响应矩阵的性质来判断的
当然一个系统的输入输出个数很多
如果你对每个有界的输入都来回试一下
这个可能性非常多 所以它这个定义很难判断
但是你要现在看 我们给出来了这个判据
就相对容易
因为我们的H(t)这个脉冲响应矩阵
给定传递函数以后就可以计算出来
也是通过系统的这个脉冲响应
我们一次性的可以通过试验方法测量出来的
那么这样的话
我们就说这个判据实际上是简化的一个判据
具有可操作性
另外的一个判据
就是基于传递函数矩阵的
这个时候 我们如果令λi是线性定常系统传递函数矩阵
G的这个极点的集合
那么系统具有外部稳定性的充分必要条件
也可以用这些λ给出的条件来判断
这个条件是什么
就是我们说这个传递函数矩阵的所有极点都有负实部
就是它的这个
作为一个复数来说 它的实部都是小于0的
那么这里头就涉及到一个概念了
就是传递函数矩阵的极点是什么
传递函数矩阵的这个极点就定义为
它传递函数特征多项式的根
当然 如果这个传递函数矩阵本身是个1×1的
就是单入单出的话
那这个特征多项式就是它的分母多项式
这个大家都知道
对于一个多输入多出系统的这个情况
传递函数是一个矩阵
传递函数矩阵是这样一个多项式
它的特征多项式也是一个多项式
是这个传递函数矩阵各阶子式的最小公分母
所以你就是把这个传递函数矩阵作为一个有理分式矩阵
给它写出来
然后把它的各阶子式都计算出来
你就计算出来一堆的这个各种各样的有理分式
得到了一系列的有理分式
那么把这些有理分式求它的最小公分母
也就是你要做通分的时候求最小公分母
你需要通分的那个分母
就是这个整个传递函数矩阵的这个特征多项式
它的根就是这个传递函数矩阵的极点
这里面需要注意的是什么
你不能直接说把这个传递函数矩阵的每个元拿来进行通分
这还不够 你需要它的各阶子式 包括二阶 三阶
看这个矩阵一共有几阶了
这里头需要说明一下
那这个概念 我们在这做一个简单的介绍
没有给出具体的计算例子
大家感兴趣的话
可以在这 自己结合这个例题可以去再做一做
-线性系统理论的一个有趣应用
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