当前课程知识点：线性系统理论 > 第六周（第二部分：线性系统的时域理论）：线性反馈系统的时域综合（一） > LST4-1-1 状态反馈与输出反馈（一） > 视频
大家好
我们在这里面介绍一下状态反馈的一些基本的定义和性质
这里面我们看到的是一个控制系统的框图
我们看到红色虚线框起来的这一部分是控制对象
大家可以看到我们描述这个控制系统的状态空间模型的
三个系数矩阵都包含在这里面
它描述的是x'=Ax+bu y=Cx这个模型
如果假设系统的状态是完全可以测量的
就可以把系统的状态信息提取出来
通过一个线性变换k反馈到输入端
它和新的参考输入合成以后
做一个线性组合就形成了状态反馈控制律
这是一个状态反馈系统的一个基本的结构
这一基本的反馈结构更为准确的来讲叫做静态状态反馈
也就是说状态反馈通过反馈矩阵回馈到输入端
这个v是新的参考输入
这里面静态指的是系统反馈信号的计算
只依赖于系统状态当前时刻的取值
那么相比来讲我们还有动态的状态反馈
也就是说如果反馈的信号不仅依赖于状态信息的当前值
还依赖于历史时刻的值的时候
这个系统的反馈叫做动态反馈
通常来讲动态反馈是用一个动态系统来实现
而不是一个简单的静态变换来实现的 这叫做动态反馈
那么动态反馈常常用在静态状态反馈不能够满足
或达到系统的期望性能指标的时候
这个时候可能会引入动态反馈来增强系统反馈的功能
我们来看一下状态反馈的一个具体的数学描述
比如说现在的受控系统它的数学模型
是这样一个状态空间模型x'=Ax+bu y=Cx
那状态反馈的控制律我们知道它是反馈信息
和新的参考输入v(t)的一个线性组合
这里面我们传统上把它写作u(s)=-kx(t)+v(t)
这里面k是反馈系数矩阵
大家注意我们通常会写作-k 这实际上是一个习惯
因为我们在学习单变量控制中
我们知道在控制系统中控制之所以起作用
是因为负反馈的存在
因为负反馈可以产生一个反向的调节作用
使得系统的输出值可以达到一个期望的值
或可以达到一个跟踪的目标
所以多变量的系统中我们也用到负反馈这个概念
所以一般来写反馈控制律的时候前面加上一个负号
但实际上从数学上来讲也不用负号 并没有本质的区别
我们来看一下这个反馈控制律下闭环系统的
数学表达式是什么样子
很简单 就是把现在写出来的状态反馈律
u=-kx(t)+v(t)代到开环系统状态方程中
再整理一下 把所有x的同类项合并一下
我们可以得到这个时候新的系统它的系统矩阵
x的系数矩阵就变为A-bk
这个时候系统输入就不再是u
就变为新的参考输入v(t)
v(t)的系数矩阵也是b 那么输出不变 还是y=Cx(t)
大家可以看到这个时候从新的参考输入到输出y
它的传递函数矩阵就变为C*(sI-(A-bk))^(-1)*b
原来受控系统的传递函数矩阵为C*(sI-A)^(-1)*b
它的传递函数就发生了变化
所以说反馈改变了系统的输入输出关系
这个时候反馈系统的结构特性
就可以由新的系统的系数矩阵特征值来表示
也就是说是A-bk这个矩阵的n个特征值
Lambda(1)一直到Lambda(n)
所以说一个系统综合的实质就是选择适当的反馈系数阵k
来改变系统特征值的分布
从而达到改善系统系能的这样一个目标
我们下面看一下状态反馈以后对系统系能的影响是什么
首先我们来看一下 在状态反馈下面我们知道
虽然改变了闭环系统的极点分布
但是有一个性质它是改变不了的 就是系统的能控性
那我们来看一下这个性质怎么来证明
我们知道系统的能控性
是可以通过系统能控性判别矩阵来表示
比如说知道系统的系数矩阵是(A b C)
我们知道构造这样一个Qc矩阵
其中Qc矩阵是由几个分块矩阵来表示的
Qc=[b Ab...A^(n-1)*b]
如果这个系数矩阵的秩是满秩的
也就是说它的秩等于系统状态维数n
那我们就说这个系统一定是能控的
我们看一下如果原来系统的能控矩阵是Qc
引入反馈以后
系统的能控性判别矩阵会相应的变为Qck
我们知道反馈以后b矩阵不会发生改变
改变的是系统的Ax(t)的x(t)前面的系数矩阵
就是由A变为了A-bk
所以说新的受控系统的能控性判别矩阵
就是Qck=[b (A-bk)*b...(A-bk)^(n-1)*b]
所以说要看系统的能控性是不是发生了改变
实际上要看这两个系统的能控性矩阵的秩
是不是发生了改变
所以说只需要证明这两个矩阵的秩相等
实际上就可以证明反馈不改变系统的能控性
怎么样来看这两个系统的矩阵的秩
下面的证明思路是这样
第一个可以首先证明rank(Qc)>=rank(Qck)
反过来如果rank(Qck)>=rank(Qc)
那么这两个矩阵的秩就应该是相等的
首先我们来比较一下这两个能控性矩阵 先看第一块
这两个矩阵第一块都是b
Qc的第二块是Ab Qck的第二块是(A-bk)*b
Qck的第二块实际上可以分为两部分
第一部分是Ab 再减去bk*b
Ab这一部分与Qc中一样 第二部分bk*b
因为它是b矩阵前面再乘以向量
所以这个矩阵的各个列向量
实际上是b矩阵列向量的线性组合
所以总的来看这两个矩阵的前两块
Qc中b和Ab 以及Qck中b和(A-bk)*b
这两块也就是b和(A-bk)*b
可以由Qc中b和Ab进行线性组合出来
那么同样的道理Qck中从第一块到第n块所有矩阵列向量
都可以用Qc中矩阵列向量线性组合起来
所以说Qck的列向量可以用Qc的列项量线性组合
这就是说rank(Qck)<=rank(Qc)
这是我们证明的第一部分
那第二部分很自然
就是我们把这个系统反馈变换关系 换一个观点来看
假设我们现在把反馈闭环系统看成控制对象
(A-bk)*x+b*u这是反馈闭环系统
假如说现在对这个系统有一个反馈
那么这个反馈的系数矩阵是-k
那我们可以计算一下 根据刚才的推导关系
这个时候在这个反馈变换下面 系数矩阵是什么呢
(A-bk)是原来控制对象的系数矩阵
再减去b乘以反馈系数矩阵-k
大家可以计算一下 （A-bk)-b*(-k) 加起来正好是Ax
也就是说这个反馈系统如果在-k这个反馈变换下
实际上就变成了最初的受控系统
所以说就可以直接用上面得到的结论
就可以得到rank(Qck)>=rank(Qc)
这是由它们互为反馈变换关系得到的
这样就可以证明这两个矩阵的秩是相等的
所以由此可以得到状态反馈不改变系统的能控性
那么状态反馈变换不改变系统的能控性
很容易就想到能观性的影响是什么样呢
在这里我们知道能观性就没有这么好的结论
就是状态反馈有可能改变系统的能观性
就是它不能保证系统的能观性不变
为了说明这个问题 在这里我们举一个例子
这个例子是比如现在我们有一个二阶系统
它的系数矩阵是[1, 2; 0, 3]
b矩阵是[0; 1] y的系数矩阵是[1,1]这个行向量
我们首先看一下这个系统是不是能观的
我们知道它的能观性矩阵Qu
可以写成C和CA两个分块矩阵的组合
C=[1, 1] CA计算出来是[1,5]
大家判断一下这个矩阵的秩就是2
所以这个系统是一个能观的系统
我们现在假设引入这样一个反馈
这个反馈系数阵是[0, 4]
我们可以计算在反馈控制下
系统的系数矩阵 x的系数矩阵就变为A-bk
计算为[1, 2; 0, -1] 这个时候b和C还是原来的矩阵
这个时候我们再计算一下 闭环系统的能观性矩阵就变为
第一行是C=[1, 1] 第二行C*(A-bk)=[1, 1]
这样计算出来系统的能观性判别矩阵的秩就是1
也就是不满秩
所以反馈系统是一个不完全能观的系统
所以这个时候我们通过反例可以看到
反馈有可能改变系统的能观性
当然并不是所有的反馈都能改变系统的能观性
比如说我们如果把反馈矩阵的第二个系数由4变为5
去验证一下反馈系统 它实际上是一个能观的系统
那为什么会产生这个现象呢
实际上本质的一个原因就是状态反馈
虽然改变了系统的极点分布
但它实际上不改变系统传递函数的零点分布
也就是说如果我们把极点进行移动
正好把系统闭环极点移动到系统开环零点的位置
那么这个时候就会发生零极相消
零极相消的后果就是会使得某些状态的信息
没有办法反应到输出的信号中
这个时候系统就是一个不能观的系统
-线性系统理论的一个有趣应用
--视频
--动画文件
--课件
-系统的概念
--视频
--课件
-系统的概念--作业
-动态系统的分类
--视频
--课件
-动态系统的分类--作业
-因果系统的状态
--视频
--课件
-线性系统和非线性系统
--视频
--课件（1）
--课件（2）
-线性系统和非线性系统--作业
-定常系统和时变系统
--视频
--课件
-非线性系统的线性化
--视频
--课件
-非线性系统的线性化--作业
-时变系统的定常化
--视频
--课件
-时变系统的定常化--作业
-LST1-1-1 状态、状态空间及系统的状态空间描述（一）
--视频
--课件
-LST1-1-1 状态、状态空间及系统的状态空间描述（一）--作业
-LST1-1-2 状态、状态空间及系统的状态空间描述（二）
--视频
--课件
-LST1-1-2 状态、状态空间及系统的状态空间描述（二）--作业
-LST1-1-3 状态、状态空间及系统的状态空间描述（三）
--视频
--课件
-LST1-1-3 状态、状态空间及系统的状态空间描述（三）--作业
-LST1-2-1 由输出输入描述导出状态空间描述（一）
--视频
--课件
-LST1-2-1 由输出输入描述导出状态空间描述（一）--作业
-LST1-2-2 由输出输入描述导出状态空间描述（二）
--视频
--课件
-LST1-2-3 由输出输入描述导出状态空间描述（三）
--视频
--课件
-LST1-3-1 由方框图输入输出描述写出状态空间表达式（一）
--视频
--课件
-LST1-3-2 由方框图输入输出描述写出状态空间表达式（二）
--视频
--课件
-LST1-3-2 由方框图输入输出描述写出状态空间表达式（二）--作业
-LST1-4-1 由系统状态空间描述导出传递函数矩阵（一）
--视频
--课件
-LST1-4-2 由系统状态空间描述导出传递函数矩阵（二）
--视频
--课件
-LST1-4-2 由系统状态空间描述导出传递函数矩阵（二）--作业
-LST1-4-3 由系统状态空间描述导出传递函数矩阵（三）
--视频
--课件
-LST1-4-3 由系统状态空间描述导出传递函数矩阵（三）--作业
-LST1-4-4 由系统状态空间描述导出传递函数矩阵（四）
--视频
--课件
-LST1-5-1 线性定常系统的特征结构
--视频
--课件
-LST 1-6-1 线性定常系统的坐标变换及其特征（一）
--视频
--课件
-LST 1-6-1 线性定常系统的坐标变换及其特征（一）--作业
-LST1-6-2 线性定常系统的坐标变换及其特征（二）
--视频
--课件
-LST1-6-2 线性定常系统的坐标变换及其特征（二）--作业
-LST1-6-3 线性定常系统的坐标变换及其特征（三）
--视频
--课件
-LST1-6-3 线性定常系统的坐标变换及其特征（三）--作业
-LST1-6-4 线性定常系统的坐标变换及其特征（四）
--视频
--课件
-LST1-6-4 线性定常系统的坐标变换及其特征（四）--作业
-LST1-6-5 线性定常系统的坐标变换及其特征（五）
--视频
--课件
-LST2-1-1 线性连续定常系统状态方程的解
--视频
--课件
-LST2-1-1 线性连续定常系统状态方程的解--作业
-LST2-2-1 状态转移矩阵及其属性和算法（一）
--视频
--课件
-LST2-2-1 状态转移矩阵及其属性和算法（一）--作业
-LST2-2-2 状态转移矩阵及其属性和算法（二）
--视频
--课件
-LST2-3-1 脉冲响应矩阵
--视频
--课件
-LST2-4-1 系统的模态
--视频
--课件
-LST2-5-1 系统的外部稳定性
--视频
--课件
-LST2-6-1 线性定常系统的内部稳定性判据
--视频
--课件
-LST3-1-1 能控性与能观测性的定义（一）
--视频
--课件
-LST3-1-1 能控性与能观测性的定义（一）--作业
-LST3-1-2 能控性与能观测性的定义（二）
--视频
--课件
-LST3-1-2 能控性与能观测性的定义（二）--作业
-LST3-1-3 能控性与能观测性的定义（三）
--视频
--课件
-LST3-1-3 能控性与能观测性的定义（三）--作业
- LST3-1-4 能控性与能观测性的定义（四）
--视频
--课件
- LST3-1-4 能控性与能观测性的定义（四）--作业
- LST3-1-5 能控性与能观测性的定义（五）
--视频
--课件
- LST3-1-6 能控性与能观测性的定义（六）
--视频
--课件
- LST3-1-6 能控性与能观测性的定义（六）--作业
- LST3-2-1 能控性与能观测性的判据（一）
--视频
--课件
- LST3-2-2 能控性与能观测性的判据（二）
--视频
--课件
-LST3-2-3 能控性与能观测性的判据（三）
--视频
--课件
-LST3-2-4 能控性与能观测性的判据（四）
--视频
--课件
-LST3-2-5 能控性与能观测性的判据（五）
--视频
--课件
- LST3-2-6 能控性与能观测性的判据（六）
--视频
--课件
- LST3-2-6 能控性与能观测性的判据（六）--作业
-LST3-2-7 能控性与能观测性的判据（七）
--视频
--课件
-LST3-2-8 能控性与能观测性的判据（八）
--视频
--课件
-LST3-3-1 能控性能观性指数
--视频
--课件
-LST3-3-1 能控性能观性指数--作业
-LST3-4-1 对偶性原理（一）
--视频
--课件
-LST3-4-1 对偶性原理（一）--作业
-LST3-4-2 对偶性原理（二）
--视频
--课件
-LST3-4-2 对偶性原理（二）--作业
-LST3-5-1 系统结构的规范分解（一）
--视频
--课件
-LST3-5-1 系统结构的规范分解（一）--作业
-LST3-5-2 系统结构的规范分解（二）
--视频
--课件
-LST3-5-3 系统结构的规范分解（三）
--视频
--课件
-LST3-5-4 系统结构的规范分解（四）
--视频
--课件
-LST3-5-4 系统结构的规范分解（四）--作业
-LST3-6-1 能控标准型和能观标准型（一）
--视频
--课件
-LST3-6-2 能控标准型和能观标准型（二）
--视频
--课件
-LST3-7-1 传递函数矩阵的实现问题（一）
--视频
--课件
-LST3-7-1 传递函数矩阵的实现问题（一）--作业
-LST3-7-2 传递函数矩阵的实现问题（二）
--视频
--课件
-LST3-7-3 传递函数矩阵的实现问题（三）
--视频
--课件
-LST3-7-4 传递函数矩阵的实现问题（四）
--视频
--课件
-LST4-0 绪论
--视频
--课件
-LST4-0 绪论--作业
-LST4-1-1 状态反馈与输出反馈（一）
--视频
--课件
-LST4-1-1 状态反馈与输出反馈（一）--作业
-LST4-1-2 状态反馈与输出反馈（二）
--视频
--课件
-LST4-1-2 状态反馈与输出反馈（二）--作业
-LST4-1-3 状态反馈与输出反馈（三）
--视频
--课件
-LST4-1-3 状态反馈与输出反馈（三）--作业
-LST4-2-1 极点配置（一）
--视频
--课件
-LST4-2-1 极点配置（一）--作业
-LST4-2-2 极点配置（二）
--视频
--课件
-LST4-2-2 极点配置（二）--作业
-LST4-2-3 极点配置（三）
--视频
--课件
-LST4-2-4 极点配置（四）
--视频
--课件
-LST4-2-5 极点配置（五）
--视频
--课件
-LST4-2-5 极点配置（五）--作业
-LST4-2-6 极点配置（六）
--视频
--课件
-LST4-2-6 极点配置（六）--作业
-LST4-3-1 状态反馈镇定
--视频
--课件
-LST4-4-1 状态反馈解耦（一）
--视频
--课件
-LST4-4-1 状态反馈解耦（一）--作业
-LST4-4-2 状态反馈解耦（二）
--视频
--课件
-LST4-4-2 状态反馈解耦（二）--作业
-LST4-4-3 状态反馈解耦（三）
--视频
--课件
-LST4-4-3 状态反馈解耦（三）--作业
-LST4-5-1 状态观测器（一）
--视频
--课件
-LST4-5-1 状态观测器（一）--作业
-LST4-5-2 状态观测器（二）
--视频
--课件
-LST4-6-1 分离性原理（一）
--视频
--课件
-LST4-6-1 分离性原理（一）--作业
-LST4-6-2 分离性原理（二）
--视频
--课件
-LST4-6-3 分离性原理（三）
--视频
--课件
-LST4-7-1 跟踪控制和扰动抑制（一）
--视频
--课件
-LST4-7-1 跟踪控制和扰动抑制（一）--作业
-LST4-7-2 跟踪控制和扰动抑制（二）
--视频
--课件
-LST4-7-2 跟踪控制和扰动抑制（二）--作业
- LST4-7-3 跟踪控制和扰动抑制（三）
--视频
--课件
- LST4-7-3 跟踪控制和扰动抑制（三）--作业
-LST4-7-4 跟踪控制和扰动抑制（四）
--视频
--课件
-LST4-7-4 跟踪控制和扰动抑制（四）--作业
-LST4-8-1 线性二次型最优控制（一）
--视频
--课件
-LST4-8-1 线性二次型最优控制（一）--作业
-LST4-8-2 线性二次型最优控制（二）
--视频
--课件
-LST4-8-3 线性二次型最优控制（三）
--视频
--课件
- LST4-8-4 线性二次型最优控制（四）
--视频
--课件
-LST5-0 复频域理论概论
--视频
--课件
-LST5-1-1 传递函数阵及其MFD
--视频
--课件
-LST5-1-1 传递函数阵及其MFD--作业
-LST5-2-1 MFD的真性及其判别准则
--视频
--课件
-LST5-2-2 由非真MFD导出严格真MFD
--视频
--课件
-LST5-3-1 不可简约MFD（一）
--视频
--课件
-LST5-3-1 不可简约MFD（一）--作业
-LST5-3-2 不可简约MFD（二）
--视频
--课件
-LST6-1-1 Smith-McMillan形
--视频
--课件
-LST6-1-1 Smith-McMillan形--作业
-LST6-2-1 多变量系统的极点零点定义和属性
--视频
--课件
-LST6-2-1 多变量系统的极点零点定义和属性--作业
-LST6-2-2 结构指数，无穷远处的极点和零点（一）
--视频
--课件
-LST6-2-3 结构指数，无穷远处的极点和零点（二）
--视频
--课件
-LST6-2-3 结构指数，无穷远处的极点和零点（二）--作业
-LST6-2-4 传递函数阵在极点零点上的评价值
--视频
--课件
-LST6-3-1 零空间
--视频
--课件
-LST6-3-2 最小多项式基和Kronecker指数
--视频
--课件
-LST6-3-2 最小多项式基和Kronecker指数--作业
-LST6-3-3 传递函数阵的亏数
--视频
--课件
-LST7-1-1 多项式矩阵描述
--视频
--课件
-LST7-1-2 不可简约的多项式矩阵描述
--视频
--课件
-LST7-1-2 不可简约的多项式矩阵描述--作业
-LST7-2-1 解耦零点
--视频
--课件
-LST7-2-1 解耦零点--作业
-LST7-3-1 系统矩阵
--视频
--课件
- LST7-4-1 严格系统等价（一）
--视频
--课件
- LST7-4-1 严格系统等价（一）--作业
-LST7-4-2 严格系统等价（二）
--视频
--课件
-LST7-4-2 严格系统等价（二）--作业
-LST8-1-1 具有补偿器的输出反馈（一）
--视频
--课件
-LST8-1-2 具有补偿器的输出反馈（二）
--视频
--课件
-LST8-1-3 具有补偿器的输出反馈（三）
--视频
--课件
- LST8-1-4 具有补偿器的输出反馈（四）
--视频
--课件
-LST8-2-1 输出反馈动态解耦控制（一）
--视频
--课件
-LST8-2-2 输出反馈动态解耦控制（二）
--视频
--课件
