当前课程知识点：生产计划与控制 > 第四章 需求预测（2） > 第2节 Holt法 > 第2节 Holt法
下边我们来介绍另外一种
针对趋势性的处理的办法Holt法
这实际上是一种二次指数平滑的办法
我们不光要跟踪这个需求上升的数值
而且要跟踪这个上升的趋势它本身
是不是也在进行什么变化
所以我们有两个平滑常数
α是用来跟踪时间序列的
β是用来跟踪趋势值的
平滑公式也是有两个
首先看这个时间序列的数值
也就是说在时间等于t的这个结点上
它的截距值是多少
我们在这儿引入一个中间变量S_t
我们看下面这个公式
大家看一眼
这个公式的前半部分
看起来是不是很眼熟啊
如果我们还是用F_t来表示的话
跟我们在前边讲指数平滑的公式
几乎是一样的
只是多了最后一个（G_t-1）
这个G_t-1代表的是什么意思
就是在D_t-1期的时候
当时的每期的上升的速率是多少
这个地方你可以理解1(G_t-1)
就是在1期里边它会上升多少
除了这个之外
跟原始的指数平滑
是完全一样的公式
这是对时间序列值的跟踪
那么我们再往下看
对趋势值的跟踪
也就是在t这个时间点
当前的斜率会发生什么变化
就是一个新的趋势值G_t
我们是用一个老的趋势值G_t-1作为大头
然后来进行稍微修正一下
怎么修正呢
就是用β这个平滑常数
用最新观察到的上升趋势
来修正这个老的上升趋势
什么是最新的趋势
我们上次的时间序列值是S_t-1
最新的时间序列值就是S_t本身
这两个之间差距有多少啊
在1期的这个时间轴上
它就上升了这么多
这就是最新观察到的趋势值
所以我们就是用这个最新的趋势值
乘上一个比较小的平滑常数β
然后对老的趋势值G_t-1进行一下更新
老的趋势值占的权重比较大1-β
β一般来说也是一个比较小的数
比如0.1 0.2 顶多0.3的样子
这个在不同的行业取值会有点区别
如果刚才这个逻辑大家还没有太理解的话
下面我们换一种用图形化的方式
来说一下刚才这个预测更新的过程
在这幅图里边大家看到
在D_t-1期的末尾
我们有这个时间序列值S_t-1
然后等过了1期之后到了第t期的末尾了
我们得到了一个新的观测值D_t
这是新的观测值
但是我们的这个时间序列值S_t
是怎么算出来的呢
首先我们要算一下
站在t-1末尾的时候或者站在
D_t期的开头的时候
就是S_t-1这个点上
它上升的趋势是多少
它是沿着G_t-1这个斜率上升的
这就是我们为什么在这
这个角度里边标的是acrtgG_t-1
这是这个角度
它沿着这个斜率上升的
本来上来之后应该是S_t-1+G_t-1
但是呢你观察到了一个新值
不是在这比它高的多
是在D_t这个点
那么我们在把这个时间序列值更新的时候呢
不是直接取D_t
而是让这个老的这个时间序列值
S_t-1+G_t-1占大头
把D_t作为一个新的观测值
给它稍微更新一下作为一个修正
这就是我们看到悬在半空里边的
这个新的时间序列值S_t
S_t是在D_t和S_t-1+G_t-1之间的这么一个位置
当然更靠近下边一点
因为下边占的权重比较大
到了D_t期的末尾的时候
我就站在这个时间点上
就是在S_t这个高度上再进一步往下预测
这个时候我就看新的斜率是多少呢
那就看这个S_t跟刚才那S_t-1差了多少
拿这个差距当新的斜率
我们把斜率也作一个更新
得到了第二个公式里边的这个新的G_t
所以从S_t这个点开始再往上走的时候
这个斜率对应的角度就是arctgG_t了
而不是刚才那个G_t-1了
这是我们用一个图形的方式
来帮助大家理解
这种两次指数平滑的Holt法
它的本质的含义
按照这个算法
我们可以站在第t期来向前预测
做1期的预测也可以做多期的预测也可以
如果是你进行多步的预测
这个步数如果是τ
我们用希腊字母τ来表示的话
那这个预测值就是F
这个下标是t，t+τ
它表达的意思就是站在第t期
去预测D_t+τ期的需求
因为这个时候我看到的上升的趋势就是G_t
所以我就站在S_t这个高度上
再加上τG_t的这个斜率
这样的话就作为对τ期以后的需求的预测了
这是它进行多步预测的做法
我们下边来看一个Holt法的运用的例子
对于刚才说的航空发动机基地里边
那个维修发动机的数量的预测来说
我们看看如果做单步预测我们怎么做呢
原来你手头有8个数据
有过去8个季度两年的数据
如果我们两个平滑常数
α和β都是取0.1
但是在这呢我们必须做个假设
得假设最开始你得有个序列值S_0是多少
假设有个初始的趋势值这个G_0是多少
就像我们在上一讲用指数平滑法来做预测一样
我们设个初始的时间序列值是200
类似的我们也设一个初始的趋势值是10
就表示每增加一个季度它会上升10次
接下来我们来看
怎么样一步一步的做时间序列和趋势值的更新
首先我们站在第一期的末尾
当我们观察到了一个新的观察值200的时候
我们把200×0.1
然后老的时间序列值200和老的趋势值10
加起来是210 ×0.9
所以这两项加起来就是209了
这是更新了的时间序列值
那么更新了的趋势值呢
你观察到的最新的趋势是209
和刚才那个200的差距这就是9
我们让这个9×0.1就变成0.9了
而刚才的趋势值是10
占90%的比重就是9
所以0.9+9现在更新的趋势值G_1就是9.9
这是我们把时间序列和趋势值
都更新了一遍
那么到了第二步
我们观察到第二季度的需求是250
我们把250×0.1
把刚才那个S_1 209
和G_1 9.9加起来×0.9
跟刚才这个250的10%25加在一起
就变成222了
这是第二步的时间序列值
那么新的趋势值呢
就是这个222跟刚才那个209之间的差距
占10%的权重
老的趋势9.9占90%的权重
这样加起来就是10.2
我们看到最开始我们设的趋势值是10
然后第一步修正了之后变成9.9了
第二步修正了变成10.2了
第三步修正完了就变成9.6了
所以这个趋势一直是在慢慢的跟踪变化的
这就是Holt法这种二次指数平滑法
跟咱们前面讲的那个
原始的指数平滑法的最大区别
那么用这个方法我们来做完了单步预测
这个结果就是这张表里边展示的这样
我们跟实际值来对比的话
单步预测的值跟实际值之间
总还是有一个误差
我们把误差取个绝对值把它全加起来
做个平均
这个MAD是46.4
这是单步的预测
如果我们想做多步预测的话
比如我们站在第二季度
我们想预测下第五季度的需求会是多少呢
在第二季度的时候
我们手头的趋势值是10.2
那么我们就会把这个10.2×3步
加到刚才的时间序列222里头来
就会预测我们第五期的需求可能会是252
但是这里边往往是有问题的
因为在这个时候
这个趋势值可能还是跟最开始假设的值
相关性比较大
这个预测可能偏差比较大
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