4.6 矩在线视频

欢迎同学们来到我的课堂

今天我们学习数字特征的最后一节

矩

这一节主要包括两个部分

矩的定义二维正态分布的性质

第一矩的定义

如果X^k的期望存在

其中k从1开始取

我们就称之为X的k阶原点矩

简称k阶矩

若(X-EX)^k期望存在

k从2开始取

我们就称之为X的k阶中心矩

若X^k*Y^l 的期望存在

其中k和l都是从1开始取

我们就称之为X与Y的k加l阶混合矩

若(X-EX)^k

乘以(Y-EY)^l的期望存在

其中k l都从1开始取

我们就称之为X与Y的

k加l阶混合中心矩

大家会发现

无论是原点矩还是中心矩

本质上来说它其实都是函数的期望

只不过是不同的矩 函数不一样

好关于些定义我们进行一下说明

首先矩概念其实是来源于物理学

我们可以通过力矩来理解

什么叫做力矩

力矩就是力的大小到支点的距离的乘积好

我们以期望

离散型随机变量的期望为例

对于离散型随机变量X的期望

是不等于xk乘以pk求和

接下来我们构造天平

中心是零两个端点分别是1

我们把X的取值xk

当成砝码放在了左边

而每个砝码与支点零的距离用pk表示

那显然

为了让天平平衡

我们需要在右边也挂一些砝码

我们右边那只在1处挂砝码

那砝码应该是多少呢

显然

为了让天平平衡

我们是被要求左边的力矩

和右边的力矩相等

左边的力矩多少呢

是不是重量乘以距离

所以是xk乘以pk求和

那显然

根据我们刚才讲的xk*pk求和

是不是正好就等于X的期望

他们显然右边的力矩呢

是不是砝码的重量乘以1

其实也等于砝码的重量

显然重量是不是正好EX

我们的矩就是这个期望

期望其实是一阶矩 对吧

期望其实就相当于

是为了保持天平的平衡

而构造的一个量

我们把它叫做矩

来源就在这

二实际上呢

矩在随机变量中的主要是用来衡量

随机变量的分布和形式的数字特征

比如说二阶矩描述了其宽度

三阶矩描述的其偏态

也与均值的偏差分布

而四阶矩描述的其峰度 即峰值的分布

好接下来我们看一下常用的矩

期望其实X的1次的期望

它其实是一阶矩

方差 DX等于(X-EX)^2的期望

它其实是二阶中心矩

而协方差呢

是(X-EX)^1

乘以(Y-EY)^1再取期望

正好是1加1阶混合中心矩

但常用的我们除了这几个

还有二阶原点矩

我们表示平均能量

还有那三阶中心矩

表示偏态

四阶中心矩的表示峰度

而这些在我们的统计学中会经常的用到

接下来看个例子

假设X是正态分布

参数是0 σ^2

我们求X的n阶矩

显然

我们把X进行标准化

Y就等于X/σ

那显然Y就服从(0, 1)正态分布

Y服从标准正态分布

所以我们X的n阶矩

X^n的期望

是不是就等于

σ^n乘以Y的n阶矩

我们接下来只要算Y的n阶矩就行

而Y的n阶矩

是不是就是Y^n的期望

Y的函数的期望

就等于Y^n

乘以密度再去积分

而Y的密度标准正态分布

带进去我们可以得到

X^n的期望

就等于根号2π

分之σ^n

y^n乘以e^(-y^2/2)

取积分

当n取奇数的时候

大家注意y^n是奇函数

e^(-y^2/2)偶函数

那两个乘起来显示是奇函数

奇函数在对称区间上的积分显示零

X的n阶矩就是零

那如果当n是偶数的时候呢

被积函数显然是偶函数了

负无穷到正无穷次的积分

我们是不是就可以看成

2倍的0到正无穷处的积分

我们经过换元

令y^2/2等于t

那显然y就等于

2^(1/2)*t^(1/2)

而dy就等于2^(-1/2)

*t^(-1/2)dt

把式子带进去

我们就可以得到

X^n的期望就等于多少呢

好通过化简

我们就可以得到X^n的期望

其实就等于2^(n/2)*

σ^n/

根号π*

γ((n+1)/2)

注意

γ函数有非常重要的递推关系

γ(r+1)等于r倍的γ(r)

把递推关系带进去

我们就可以得到最后的结论

X^n的期望

σ^n乘以(n-1)的双阶乘

所有的双阶乘指的是

当n是奇数的时候

n的双阶乘就是1*3*5

……*n

1到n的奇数的乘积

n为偶数的时候呢

n的双阶乘2*4*6……*n

也就相当于是1到n中偶数的乘积

结合n等于奇数的情形

我们就可以得到X的n次的期望

当n是偶数的时候

σ^n

(n-1)的双阶乘

n是奇数的时候就是零

特别的如果X服从标准正态分布

也就是σ取1的时候

那显然X的n阶矩

就可以变成当n是偶数的时候

就是(n-1)的双阶乘

n是奇数的时候零

那如果我们n取4呢

X的4次的期望

是不是就相当于3的双阶乘

就是1*3等于3

这个结论在后续的学习中我们还会用到

接下来我们介绍协方差矩阵的概念

假如说我们有一列

n维随机变量X1……Xn

任意两个随机变量Xi和Xj呢

我们可以考虑它们的协方差

记作Cij

那把些Cij按行按列排列

那就构成矩阵C

等于Cij排起来

那这个矩阵

因为每一个元素

Cij都是协方差

我们把它称为n维随机变量的协方差矩阵

随机变量的协方差矩阵

可以用来表示

多维随机变量的概率密度

接下来我们以二维正态分布为例

二维正态分布

（X,Y)服从μ1 μ2 σ1^2 σ2^2 ρ的

一个正态分布

我们接下来用协方差矩阵

来表示二维正态分布的密度

引入一个随机向量

X等于(x1 x2) 引入一个向量

μ等于(μ1 μ2)

再引入协方差矩阵

C等于(C11 C12 \\

C21 C22)

其中C11呢

就相当于X与X的协方差

也就是X的方差σ1^2

C22就相当于Y与Y的协方差

所以就是Y的方差σ2^2

而C12和C21表示的X与Y的协方差

正好等于ρ倍的σ1σ2

我们计算一下X减μ的转置

C逆 X减μ 大家可以自己算一下

可以最后结果呢

我们就会发现乘积

正好等于1-ρ^2分之一

乘上

乘以上σ1^2分之(x1-μ1)^2

减去2倍的ρ(x1-μ1)

乘以(x2-μ2)再除以σ1σ2

再加上

σ2^2分之(x2-μ2)^2

大家会发现下面式子

是不是正好二维正态分布

密度函数中指数部分的-2倍

对于二维正态分布的密度函数中

指数部分是不是就可以写成

-1/2 (X-μ)的转置

乘以C的逆乘以(X-μ)

前面的常数呢

2π可以写成根号2π^(2/2)

那常数σ1σ2根号(1-ρ^2)

是不是正好C的行列式的1/2次

我们密度二维随机变量XY的概率

密度函数

我们就可以变成2π^(2/2)

乘以C的行列式的1/2次分之e

e的多少次

e的-1/2 (X-μ)的转置

C逆(X-μ)

而且实际上这个性质是可以推广的

我们对于n维

正态分布它的概率密度函数

只需要把之前

2π^(2/2)

改成2π^(n/2)就可以了

接下来我们介绍一下

n维正态分布的性质

第一条n维随机变量服从正态分布

当且仅当X1……Xn的任意线性组合

L1X1+……+LnXn服从一维正态

第二条X1……Xn服从n维正态分布

Y1……Ym是X1……Xn的线性函数

则Y1……Ym也是正态函数

也说正态分布的线性函数还是正态

还有第三条

X1……Xn服从n维正态

则X1…… Xn独立当且仅当X1……Xn两两不相关

当n等于2的时候我们前面已经证明了

对于n的时候这一结论同样成立

好我们看例题

设(X Y)是二维正态

参数是1 2 4 9 0.5

求2X-Y的分布

显然根据刚才讲的

2X-Y也是正态分布

因为它是 X Y的线性组合

它是正态分布

我们只要求正态分布的两个参数

而第一个参数正好2X-Y的期望

第二个参数正好是2X-Y的方差

我们接下来算一下2X-Y的期望

等于2倍的X的期望减Y的期望

X期望第一个参数1

Y的期望第二个参数2

带进去是0

2X-Y的方差

根据方案计算公式

等于4倍的X的方差

加Y的方差减去4倍的X Y的协方差

而根据相关系数的定义

协方差是不是又可以写成

ρ乘以根号DX根号DY

我们把DX等于4

DY等于9

ρ等于0.5带进去

我们就可以得到他们的方差13

2X-Y是服从正态分布

参数分别为0 13

本节小结

本节内容主要介绍了两个东西

一个是矩的概念

我们的后续章节中会大量地用到

大家课后一定要认真的学习

第二个

介绍了二维正态分布的性质

这些性质大家要了解一下