圆形封闭地层定产拟稳态条件下微分方程的解在线视频

这节课我们来讲述圆形封闭地层

定产拟稳态条件下

微分方程的解

这节我们主要讲述三个问题

第1个是拟稳定状态的定义

第2个是拟稳定状态

条件下压力的分布方程

第3个是拟稳定状态条件下

平均地层压力方程

首先来看

拟稳定状态的定义

假设均质 等厚圆形封闭油层

中心一口生产井

这个是圆形地层

外边界条件是一个封闭的地层

就是

这个地方是封闭边界条件

没有边水供给

原始的地层压力是p0

从某一时刻开始投产

产量

井的产量是Q

经过一定的生产时间以后

单位时间内压力的下降变化率为常量

这种状态

叫拟稳定状态

也就是咱们前面所说的

压力波传播到边界之后

这个产量是Q

在这种情况下由于渗流阻力基本上是不变的

所以在这种情况下

为了维持产量的变化Q等于ΔP除上R

要构成生产压差是不变的

压力Pe的下降幅度

跟井底压力

Pw下降都是相同的

另外

各点处的压力的下降幅度也都是相同的

我们叫拟稳定状态

在拟稳定状态条件下

为了求解压力方程

我们可以用不稳定渗流的状态方程

不稳定渗流的方程

它的数学模型

是一个综合控制方程

也就是

所以这个方程

无论是在拟稳态还是其它的一些条件下

都是适用的

这个是不稳定渗流的

综合控制方程

那么在这儿不同的是第1个

我们来看一下

这个内边界的条件

内边界的条件我们假设

p等于r=Rw处井底的压力

是已知的条件下

第二我们再看一下外边界

外边界也是封闭边界条件

所以这一点的渗流速度也是等于0的

对拟稳定状态条件下

由于各点

无论是外边界上的压力

还是井底的压力

还是平均的地层压力

它的下降的这个幅度都是相同的

which is ∂p/∂t=C

在这看一下

我们可以看到渗流数学模型

是拟稳定状态下满足∂p/∂t=C

因为咱们讲的这个是定产条件

定产条件的产量Q

怎么体现在这方程里边

这个是我们接下来要思考的问题

对于拟稳定状态条件下

由于压力的下降的速度

各点处都是相同的

我们假设∂p/∂t=C

在这种前提下

我们可以看到

如果假设封闭地层中

封闭地层中所有的产量

地层中依靠弹性能所排出

液体的量主要依靠弹性能

所以弹性能就是

一个是综合压缩系数

再乘上一个地层的一个体积

再乘上一个压力的下降

下降值Δp所以整个来讲

通过弹性能所排出液体量

V等于Ct乘上Vf再乘上Δp

在这Vf就等于

地层的体积是等于

由于Rw是比较小的

可以约等于

对于所排出的累积的液体的量是V

如果把排出累积液体的量V

对时间求偏导

也就是∂V/∂t

在这

也就可以看到Ct是一个常数

Vf是一个常数

在这个情况下

p0是初始压力是一个常数

在这唯一变化的是平均线下压力p

等于一个Ct乘上Vf

乘上∂p比上∂t

也就是平均压力

我们都知道

由于井底处的压力

跟边界处的压力

井底的压力

还有平均的压力

随着时间的变化都是相同的

所以

∂V/∂t等于

在这p

就可以换成任意一点处的

压力

另外我们看到如果是对排出的液体的量

比上一个时间

应该是产量Q

咱们定产量Q

生产条件下Q=∂V/∂t

在这样的情况下

我们可以看到得到这么一个公式

Q=-Ct*Vf *∂p/∂t

在前边讲述的

不稳定

渗流里边右端项是等于

1/η

∂p/∂t

咱们可以看到这地方有一个

∂p/∂t

其中η在这里边包含了Ct项

η是等于一个K比上Ct

在这种条件下

我们可以把∂p/∂t

可以单独拿出来

∂p/∂t化简

那么就等于

这是∂p/∂t

那么说我们再给它前面再乘1/η

把μCt/K代进去

那么说就有得出来的

这项就等于一个

不稳定渗流

转化成拟稳定状态条件之下

综合控制方程右端项就变成了这个

1/η*∂p/∂t

那么内边界条件

假设我们井底的压力是已知的

另外外边界条件已经是

封闭边界条件

所以渗流速度等于0

∂p/∂r|r=Re=0

通过解这个方程

我们可以得出来

这个方程是p(r,t)任意时刻

任意位置处压力

其中由于Rw要比这个r要小

因为井底半径是非常小的

所以这项可以忽略

忽略以后

那么它化简一下

那么说它拟稳态条件下压力分布

p(r,t)=pw（t）

加上Qμ除上2πKh

lnr/Rw

减去1/2 r的平方

除上Re的平方

这是在井底压力

已知的条件下的

拟稳态条件下压力分布的

方程

如果假设我们知道是边界处的压力的变化

也可以带到这个方程里边去来进行求解

那么说同样可以得出已知

边界处的压力条件下

任意一点处压力分布的方程

另外我们也可以得到井底的条件

如果换成井底

就是pw井底的压力等于一个边界压力

化简的时候

就可以忽略得到这么一个式子

第3个

我们来看一下拟稳状态下平均地层压力

我们知道地层压力求解

可以通过面积的加权平均方式来进行求解

那么说我们假设

整个的面积

π乘上Re的平方减去Rw的平方

那么如果是每一点处的压力

来进行一个加权积分就是

压力p乘上2πr乘上dr

从Rw到Re进行积分

那么

我们把前面所求得的一个压力

分布方程代入

压力p那么说求解

进行积分化简

就会得出

这个是它的整个的代入的一个形式

代入形式以后

对它进行积分化简以后

最后得出来

这就是平均地层压力

可以看出平均地层压力

它随着时间的变化

等于

l

我们就可以通过这个公式然后来求解

平均地层压力分布

如果是我们假设已知外边界条件下的

它的压力

那么说也可以同样带到上述公式里边

可以求得地层压力

平均地层压力与外边界的

一个压力的关系式

我们可以利用这些公式

来进行弹性驱动条件下

当井产量是保持不变的时候

进行动态的预测

也就进入拟稳态平衡一个动态预测

包括给定不同时间

只可以求出不同时间条件下总的产液量

也就是总的弹性的产液量

第2也可以求出任意时间

它的平均地层压力

变化

也可以求出任意时刻t

井底的压力

也可以求出任意时刻

封闭地层上的一个压力pt

通过这节课

我们是要重点掌握第1个就是

拟稳定状态的

压力方程

第2个就是

拟稳定状态平均地层压力的方程

好

这节课我们就到这