考虑扩散的渗流及典型解在线视频

同学你好

这节课我们讲述物理化学渗流中

考虑扩散的一维渗流

以及典型解

通过本节我们要掌握

多孔介质中的扩散现象和

一维理想扩散渗流方程以及它的解

我们来看多孔介质中的扩散现象

扩散现象又叫弥散现象

是指的是渗流过程中

多种组份

在相互混合时

异组分物质在出现浓度的差异的时候

浓度的变化

并不是完全依靠达西定律的现象

我们叫它扩散现象

扩散现象可以分成两类

一类是叫分子扩散

一类叫对流扩散

所谓的分子扩散是指的是

存在浓度梯度

导致依靠

分子本身的热运动的扩散

对流扩散又叫机械扩散

是由于多孔介质中它微观孔隙结构不均匀性

或者是其中的流动本身带有非均匀性或者分散性

而引起的对流扩散

扩散是具有一个多方向性的

那么说我们可以用一个扩散系数来进行表征

扩散速度

可以由费克定律来进行表达

U扩散速度是等于-D乘上

əc/əx

其中D就是扩散系数

刚才说了

扩散系数是具有方向性的系数

它跟渗透率的张量是一样的

但x，y和z的方向是不一样的

另外

咱们可以看到扩散的速度

它是跟浓度

梯度是有关系的

əc/əx

也就是浓度梯度越大

扩散速度是越大的

扩散系数越大

扩散速度也是越大的

第2个我们来看一下

一维理想扩散渗流方程以及解

首先来我们看一下

待扩散的条件下

渗流组分的一个连续性方程

它连续性方程

可以有这么三个部分来组成

首先来看一下

这是浓度

随着时间的变化

另外

这个是浓度依靠对流速度引起的

浓度变化

而这一项是由于扩散而引起的浓度变化

它用的是əu/əx

其中刚才说了

u=-D*əc/əx

我们如果把这个式子带到这个里边

我们可以得到

考虑符合Fick扩散定律的

一维理想情况下

扩散方程

可以看到这个

它是由三项组成

第1项是

əc/ət

它表示了

随着时间变化

累积项

第2项是由于对流速度

而引起的浓度的变化

我们叫它对流项 这一项的后边

最后这一项是由于扩散而引起浓度变化

我们叫它扩散项 这个就是一维扩散

渗流的连续性方程

这个方程很重要

大家应该掌握

假如溶液中不考虑扩散现象

那么说这个方程

这个右边项D*ə²c/əx²

也就是D扩散速度

这个扩散系数是0

所以这儿就拿掉

在这种情况下

我们可以看到它浓度的变化

实际上它跟运动的质点的变化是一致的

所以这个是等浓度面的移动的速度

就是对流的速度

我们来看一下

既考虑对流速度

又考虑扩散条件下它的求解

这种求解

必须具备一定的边界条件才能求解

我们假设这样一个边界条件

也就是浓度C=C1

在x小于零

t等于零时刻的时候

是C=C1

在x>0 t=0时刻的时候

浓度是C是等于0的

在无穷远处

C (-∞,t)它浓度也是等于一个

浓度是等于一个C1

而对于正无穷处任意时刻浓度是等于0

那这个边界条件怎么理解呢

我们可以画一下

如果是我们以横坐标为x

纵坐标是浓度

那么说在t等于零时刻

我们对照这个可以看到

就是x小于0的时候

它浓度C是等于C1

浓度是等于一个C1

这一块浓度等于C1

包括负无穷

这块都是C1

任意时刻也是C1

对于这个x大于零处

浓度是等于0

所以这块浓度是等于0

在这儿 也就是另外对于正无穷处

也就是任意时刻

这边浓度也就等于0

那么说在这

大家不好理解

可以把它想象成

左边是一个岩心

这个岩心

它的是由表活剂溶液

这表面活性剂溶液的浓度是C1

而右边我也把它想象成一个岩心

这个岩心是纯水

它没有表活剂

表活剂浓度C=0

而初始时刻的时候

我把两个岩心连起来中间隔开

这个是它的一个初始条件

我们再看一下

在初始条件

这个是它的一个连续性方程

连续性方程

这个方程在这个条件下怎么进行求解呢

求解直接是解不出来的

我们必须通过变量替换的方法来进行求解

我们可以找两个变量

一个是τ

还有一个是ζ

其中τ是等于t

ζ等于x-vt

那么我们把这个式子进行变量替换

可以看到

əc/ət

就可以进行一个

əc/ət=əc/əτ•əτ/ət

然后再加上əc/əζ•əζ/ət

这样

这样式子

我们就可以求出这样一个式子

我们可以看一下

在这儿əτ/ət 也因为τ=t

所以这一项就不存在了

等于1

那还有一项是əc/əζ•əζ/ət

我们可以看到əζ/ət的时候就是相当于这个/ət

我们知道x跟t是

是两个正交变量

所以在这一变化它是0

所以在这只留了一个-v在这个

这个就

这是等于-v

所以把它带进去

就是这样一个式子

就是əc/ət=əc/əτ-v•əc/əζ

同样 əc/əx

通过边缘替代之后 我们可以得到是等于一个əc/əζ

那 对于ə²c/əx²那就等于

进行边缘替换

出来就等于ə²c/əζ²

如果把带进去

最后这个式子带进去

那么通过化简

变量替换以后变成这个

τ和ζ就是

əc/əτ=D*ə²c/əζ²

其中τ和t是相同的

所以呢我们就用 t来进行替代

在这种条件

我们可以看到这个是我们最终推导出来的一个

方程

这个方程其中

就是ζ=x-vt

这是这样的一个式子

我们可以看到

如果是把初始条件刚才初始条件带进去

也就变成了

当ζ小于0的时候

C=C1

当ζ大于0的时候

C是等于一个0这样的一个边界条件

这是转化成ζ跟t是以后的一个边界条件

把这个边界条件带到这个方程里边

我们就可以进行求解了

求解出来的结果是这样子的

大家看这个结果

实际上跟弹性不稳定渗流压力的方程

是比较相似的

咱们压力方程是大家可以想象一下是这是

ηə²p/əx²=əp/ət

只不过在这儿是我们变化成一个什么

扩散系数D

然后是换成把压力换成一个浓度

在这进行相似

所以它的方程是这样

或者是写成这样的一个形式

把ζ变成x-vt

那么说在这就是任意一个

位置处任意的时间

它的一个浓度变化就是等于个2分之C1

括弧里边一减个函数x-vt

比上个2倍的根号下D*t

这样的一个形式

当只考虑扩散作用的条件下

也就是对流速度v等于0

那么说在这浓度的方程就等于一个

2分之C1乘以1减去erf里面的x

除上2倍的根号下D*t

在这儿就是没有 v t项了

在这种条件下

我们看一下初始的条件

也就是t等于零时刻

这边浓度都是等于

C1 浓度都是等于C1

而这边浓度都是等于一个0

我们可以把它想象成这边是个岩心

这边的岩心的表活剂算浓度是C1

而右边

也有一个岩心

这个岩心的表活剂浓度是0

所以在t不等于零时刻以后

我把中间的挡板撤开

这边表活剂的

先会向这边扩散

那么扩散咱们看一下

根据这个公式

我们刻画出t等于t1时刻

它的浓度的剖面

是这样一个剖面

在这个剖面

我们可以观察一下

它有这么几个特征

第1个特征 看一下这个点

这个点应该是0.5C1

什么意思

也就是在x等于零处

如果是把代进的x等于零处

这个值应该是等于0的

等于0了以后咱们看一看浓度

c(x,t)等于2分之C1

所以在这种条件下

这个它是跟时间没有关系的

也就是任何一个时间节点的条件下

它恒过是0.5C1这个点

另外就是随着时间的延伸

就是t2时刻

这个是 t3时刻

随着时间延伸

我们可以看到 左边的浓度是慢慢减小

右边浓度是慢慢是升高

这边浓度

逐渐是往这走是接近于C1

无穷远处这边逐渐是接近于0

这个是它的一个这个只考虑扩散条件下

一个浓度的分布

我们进一步再考虑一下

如果是对流速度不等于0

那么说实际上就是0.5C1

就不存在恒定点

所以在不同的时间条件下

浓度又是怎么分布的

我们来看一下

如果是初始时刻

浓度是在初始时刻

这个浓度是C1

也就是这是t等于零时刻

对于

t1时刻

我们知道方程里边出现了x-vt

因为v是不等于0的

所以在这种条件下

压力浓度的一个剖面

是往右往进行一个传播

所以在这传播条件下

大家看这个虚线也是一个0

这个虚线是0.1的vC1点

它不再过这个x等于0的这个点

但是它通过0.5C1的时候

是在这个地方一个交点

这是t1时刻

我们再看这是t2时刻

进一步看

t3时刻

看这几个点

那么说这几个点对应下的横坐标

像这个点

应该就是这是

vt1

这个点是vt2

这个点是vt3

所以我们就得出

在任何t时刻过0.5C1

这个点的横坐标

应该是对应的是对流速度乘上此时的一个时间

所走的一个位移

就是这一块就是vt1

这个就是vt2

这是vt3

相当于前述的一个浓度剖面

被对流速度是带着往前

慢慢一个一个往上延伸

但是这几个曲线的形状是跟前述的

对流速度是0的时候它是一样的

只不过它是往前进行的一个延伸

第3个咱们进一步再看一下

如果是扩散剂组成的长度

它是一个为L的一个段塞

也就是什么意思呢

如果是我们假设这个是横坐标是x

这个是一个c是一个浓度

假设我这浓度就是从 x从0到负L处

这个里边它的浓度使一个C1

而这边浓度是等于一个0

这边是浓度是等于一个C等于一个0

这边浓度也是等于一个c等于0

只有在L这个段塞里边

它的浓度是C1

在这种条件下

它的扩散又是怎么进行的呢

在这儿我们既考虑一个对流的速度

也要考虑一个扩散

那么说这个方程是怎么建立呢

这个方程建立

我们可以利用叠加的原理来求解

那么说这样就可以把它想象成两个

第1个就是一个x假设

浓度是

这边一直是

是一个C1的一个段塞

这是跟前面是一样的

第二

我们在假设出另外一个

这是浓度c 这是x 我们假设从从L处

这边有一个负的C的一个段塞

那么说我把这两个进行一个叠加

是不是就形成了这么一个段塞的一个情况

所以对于这样的浓度的方程我们是有解的

而对于浓度方程也是有解的

只不过是把这个方程浓度变成一个负C

另外坐标轴往左进行

偏移L的一个距离

所以把两个一叠加

最后形成的就是这个浓度的方程

这个浓度方程

我们通过浓度方程

可以把浓度的变化规律可以得出来

如果是我们横坐标变成不再用x横坐标

我们用x减去vt这样就可以

把对流的影响

在这图上进行处理

那么说在这里我们可以看到它出现三个点

一个是A前沿点

还有 B是后沿点

还有C是段塞的终点

我们可以看到随着时间的延长

t1 t2可以看到整个的剖面是要往下走的

另外就是前沿点

后沿点

还有段塞中终点的浓度

也没有不存在一个恒过

一个浓度点的这么一个现象

所以段塞都是逐渐降低

最后趋于是这样的

这样的形式

这样的形式

通过这节课

我们要重点掌握

扩散现象的构成

第二就是考虑理想扩散方程

好

这节课就到这