当前课程知识点：概率论与数理统计 > 第2章 一维随机变量及其分布 > 均匀分布与指数分布 > 拓展知识
（一）指数分布
背景：若一个元件（或一台设备，一个系统）遭遇外来冲击时即失效，则首次冲击来到的时间 \( X \) (寿命)服从指数分布 \( \Gamma
(1,\lambda ) \)，其中 \( \lambda \) 为参数。\( X \) 的密度函数和分布函数分别为：
\[
f(x)=\left\{ {{\begin{array}{ll}
{\lambda e^{-\lambda x},} & {x\ge 0} \\
{0,} & {x<0} \\
\end{array} }} \right.,\quad \quad \quad F(x)=\left\{
{{\begin{array}{ll
}
{1-e^{-\lambda x},} & {x\ge 0} \\
{0,} & {x<0} \\
\end{array} }} \right.
\]
指数分布密度曲线图形如下：
性质：无记忆性
\[
P\{X>s+t\vert X>s\}=P\{X>t\}
\]
（二）伽玛分布
背景：若一个元件（或一台设备，一个系统）能抵挡一些外来冲击，但遇到第 \( k \) 次冲击时即失效，则第 \( k \) 次冲击来到的时间 \( X \) (寿命)服从形状参数为 \( k \) 的伽玛分布 \( \Gamma
(k,\lambda ) \) . \( X \) 的密度函数为：
\[
f(x)=\left\{ {{\begin{array}{ll}
{\frac{\lambda ^k}{\Gamma (k)}x^{k-1}e^{-\lambda x},} & {x\ge 0}
\\
{0,} & {x<0} \\
\end{array} }} \right.
\]
更一般情形，\( X\sim \Gamma (\alpha ,\lambda ) \)，其中 \( \alpha
>0 \)，则密度函数为
\[
f(x)=\left\{ {{\begin{array}{ll}
{\frac{\lambda ^\alpha }{\Gamma (\alpha )}x^{\alpha -1}e^{-\lambda x},}
& {x\ge 0} \\
{0,} & {x<0} \\
\end{array} }} \right.
\]
其中伽玛函数 \( \Gamma (\alpha )=\int_0^\infty {x^{\alpha -1}e^{-x}dx}
,\quad \alpha >0 \) 具有如下性质：
1） \( \Gamma (1)=1 \) ；
2） \( \Gamma (1/2)=\sqrt \pi \) ；
3） \( \Gamma (\alpha +1)=\alpha \Gamma (\alpha ) \) ；
4） \( \Gamma (n+1)=n! \) （ \( n \) 为自然数）
密度曲线图形如下：
性质：
1) 当 \( \alpha =1 \) 时的伽玛分布就是指数分布；
2) 当 \( \alpha =n/2,\;\;\lambda =1/2 \) 时，密度函数为
\[
f(x)=\left\{ {\begin{array}{ll}
\frac{1}{2^{\frac{\alpha }{2}}\Gamma
(\frac{n}{2})}x^{\frac{n}{2}-1}e^{-\frac{x}{2}}, & x\ge 0 \\
0, & x<0 \\
\end{array}} \right.
\]
称该分布为自由度 \( n \) 的卡方分布，记为 \( X\sim \chi ^2(n) \) 。它在数理统计中应用广泛。
3) 若 \( X\sim \Gamma (k,\lambda ),\quad k>1 \) 为整数，则随机变量 \( X \) 可表示为 \( k \) 个独立同服从指数分布的随机变量之和，及 \( X=X_1 +X_2
+\ldots +X_k \)，\( X_1 ,X_2 ,\ldots ,X_k \mathop
\sim\limits^{iid} \Gamma (1,\lambda ) \)，
如下示意图所示。
\( \underbrace {\overbrace {--\times }^{X_1 }\;\overbrace {--\times
}^{X_2 }\;\cdots \;\overbrace {--\times }^{X_k }}_X \)，其中 \( ``\times
'' \) 示表冲击来到的时间。
英国著名统计学家皮尔逊在研究物理、生物及经济中的随机变量时，发现很多连续型随机变量的分布不是正态分布。在1895-1916年见，皮尔逊连续发表了一系列的概率密度曲线，包括伽玛分布。在气象学中，干旱地区的年、季或月降水量被认为服从伽玛分布，指定时间段内的最大风速等也被认为服从伽玛分布.
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