当前课程知识点：线性系统理论 > 第二周（第二部分：线性系统的时域理论）：系统的状态空间描述（一） > LST1-4-1 由系统状态空间描述导出传递函数矩阵（一） > 视频
好 我们前面给大家介绍过
怎样建立状态方程
我们也知道系统带的描述可以有输入输出描述
也可以由状态空间描述
状态空间描述把状态给引进来了
可以更详细的刻画系统从内到外整个运作过程
我们在这关心的问题
是怎样从系统给定的状态空间描述
导出它的传点函数矩阵
这个问题为什么重要呢
实际上也是因为有的时候我们的设计
有可能设计出来是一个状态空间的控制器
我们也需要知道
从它的功能来说输入输出关系到底怎样
这个时候我们要来看一看
如何从我们给定的这样一种状态空间描述
来引出相应的输入输出关系
那么在时域里面当然是高阶微分方程
在频域里面我们就是用传递函数矩阵
来描述一个系统的功能
那我们首先来看一下
对于一个多输入多输出的系统
如果它的状态空间的表达式
是状态方程和输出方程分别是
x1一点等于ax加bu y=cx+bu
也就是这个星式所给出的
那为了导出输入输出关系
说白了就是u怎么去影响y
你现在是把u怎样影响y这件事
在状态空间模型里是说分解成了u怎样影响x
然后x和u怎样一起影响y
那我们要直接来看一看u怎么影响y
我们怎么弄呢
我们实际上是通过在时域里头
对状态方程和输出方程
分别做初始条件为零假设下的拉普拉斯变换
大家一定要注意
我们讨论传递函数其实有个前提
就是说我们忽略掉它的初始状态
就是系统开始的时候
内部是状态清明的
然后我们考虑这种情况下的输入输出关系
这是传递函数里默认的一个假设
往往我们在研究的时候
研究状态空间导出的过程
我们有可能会忽略这一点
那结果可能有问题
我们在零初始状态下
对状态方程和输出方程做拉普拉斯变换
分别来进行
我们得到两个在频域里面的代数方程
状态方程就变成了
xs等于si减a的幂乘以b再乘以us
这里面我们已经经过了整理
因为我们的x1一点的拉普拉斯变换对应的是
s乘以x的拉普拉斯变换
那么ax的拉普拉斯变换就是a乘以x的s
ut的拉普拉斯变换我们记作us
所以经过移项整理
我们假设si减a这个矩阵是可逆的
我们就可以把xt的拉普拉斯变换xs
表示成si减a的幂乘以b再乘以us
也就是用输入和一个代数项乘积来决定
一个复矩阵来决定
那我们拉普拉斯变换的结果是把
状态方程和输出方程分别进行了变换
我们得到的状态方程经过整理以后
它的拉普拉斯变换形式如果用u表示xs的话
就是xs等于si减a的幂乘以b
再乘以u的拉普拉斯变换
输出方程就是ys等于cxs加dus
这里我需要强调一下
拉普拉斯变换方法
一般来说只适合于线性定常系统
也就是说 这个abcd四个矩阵和时间给的没有关系
一般来说 我们要有这个假设
对于识辨系统我们很难直接应用这种拉普拉斯变换方法
这个是大家需要注意的地方
另外就是我刚才提到的
就是我们在做拉普拉斯变换导出传递函数的过程中
我们是需要假设状态是零的 初始状态为零
这个情况下
我们的x一点
x的时间导数拉普拉斯变换
才能直接简化成s乘以x的拉普拉斯变换
由于我们的传递函数是关心u如何影响y
也就是u对y是怎样去决定的
那么我们实际上
对这个传递函数来说
就可以利用所谓的y(s)等于G(s)乘以u(s)
这样一个传递函数的定义
去分析从我们这个状态方程导出的关系里面
我们对应于系统有什么样的传递函数
那我们可以把y写成为
C(sI-A)的逆乘以B加上D 整体乘以u
通过我们合并状态方程和
输出方程它们的拉普拉斯变换式
我们把x可以代入到输出方程里面去
就可以看到这样一个关系
所以我们在这给出结论说
对应于一个*式所给出来的
线性定常系统的状态空间描述
它所对应的系统传递函数矩阵G(s)
可以由A B C D按照如下的方式来决定
即C(sI-A)的逆乘以B加上D
这里面我需要稍微强调一下
就是sI-A的逆
这里面默认的说sI-A这个矩阵一定是可逆的
这里我们想说明一下
sI-A带着一个辅变量
所以这个辅变量放到一个矩阵里面去
我们对它的理解它就变成一个多项式矩阵了
我们会讲辅频域部分还会专门提一下
所谓多项式矩阵 它的可逆性等等的定义
但在这个地方我们简单的来理解
可逆性体现在sI-A这个矩阵如果求行列式
得出来是个s的多项式
而这个多项式不恒等于零
所以我们就可以知道
这个矩阵是可逆的
在这儿我想强调一下可逆性的含义
那我们如果想把这些矩阵乘开
最后我们可以整理出来G(s)
依赖于A B C D这四个矩阵的一个形式
那我们在这可以看一下它的尺寸
也就是说 我们对于一个多输入多输出的系统
所导出的传递函数矩阵
他是个几乘几的呢
当我们有p个输入q个输出的时候
我们很自然的可以知道
通过这样一个矩阵相乘的运算关系
y和u之间的关系
如果想有意义的话
得出来的就是一个有理分式
这个有理分式是一个q乘p的有理分式矩阵
我们把这个有理分式矩阵称为是一个
系统的传递函数矩阵
而每个元Gij我们也把它当做一个传递函数的关系
这个传递函数的关系分别对应的是
这个Gij 我的第I个输出yi
怎么样依赖于第j个输出uj
这样的一个中间的输入输出关系
我们也可以看到一般而言
如果我们想象一下的话也很容易想到
当A B C D比较任意选取的时候
一般来说 我们得到的G(s)不是一个对角型的矩阵
也就是在i不等于j的地方
可能会有一些非零的有理分式项出来
我们把这种非零的不在对角线位置上的Gij
称为是反映多变量系统的耦合关系
也就是说 我们可以看到
通常来说我们随意选取一个系统的话
很容易得到的是一个耦合的系统
这个系统除了第i个输出依赖于第i个输入以外
它可能还依赖于其他的输入
而这种耦合性也反映出来多变量系统的复杂性
就是它的多个输入之间能共同去影响某个输出
而一个输出可能会依赖于很多的输入
这就使得这个系统变得更加复杂了
而这个耦合关系的强弱
是可以说和相应的Gij位置上的
元的大小有关系的
这些都属于我们在综合里面会谈到的问题
特别的有一类综合问题
就是希望所谓的解耦控制
就是希望我们经过控制以后
整个这个系统只是一个输入影响一个输出
这种称为一个解耦的系统
把这个复杂的多变量问题化简成了单变量的问题
每一个输出都是由一个给定的控制来影响
相应的就可以把相关的更复杂的问题
化简为若干个简单的单输入单输出问题
这个我们后边也会讲到
下面我们通过一个例子来看一下
怎么对一个给定的状态空间模型
求出相应的传递函数矩阵
再者为了示意的目的
我们举一个简单的二阶的系统例子
这个系统是一个x1 x2的导数
等于0 1 -2 -3 乘以x
加上1 0 1 1 u1 u2 这样一个形式
大家可以看到这个系统是一个双输入系统
所以它输入的地方是一个输入的矩阵而不是向量
它的输出有三个
y1 y2 y3等于一个输出的矩阵
不再是个向量了
1 0 1 1 0 2 乘以x加上0 0 1 0 0 1 u1 u2
我们看到这个系统还是比较复杂的
它是两个输入三个输出 对吧
我们要求出来这两个输入
和这三个输出之间的传递函数矩阵的关系
依次互相影响的关系 怎么样来求呢
代入我们的公式
我们的A B C D 先整理出来这四个参数矩阵
我们发现求传递函数矩阵这是个公式里面
C(sI-A)的逆乘以B加上D
这里面很关键的一步
就是要把C(sI-A)的逆给求出来
所以我们先做这一步
先把sI-A给求出来
I代表我们的单位阵 1 0 0 1
好 那sI-A 我们就可以写成s -1 2 s+3
它求逆
那么对一个多项式矩阵怎么求逆呢
实际上跟一个数值矩阵求逆道理是类似的
我们可以用伴随矩阵的方法
可以先求它的行列式
然后再用各个余子式的形式写出来
在这我们直接给出结果
我们可以把行列式求出来
可以分解成s+1乘以s+2
代进去就得到了这样一个有理分式
注意这里面的s我们没有取特定的值
所以求出来是一个表达式
我们求出来这个逆是个符号性的表达式
有了sI-A的逆这样一个矩阵的形式以后
代入传递函数矩阵的公式
C(sI-A)的逆乘以B加上D
我们就可以把数值计算出来
最后计算出来的结果
我们看到C乘以sI-A的逆再乘以B加上D以后
最后整理出来一个有理分式的形式
可以看到它有六个元素
特别的我们看一下
比如我们看它非对角线上的元素出现了
比如说1 2这个位置是s+1乘以s+2分之1
这个位置代表什么呢
第1个输出y1 它不仅仅决定于u1
它实际上还和u2有关系
还要把s+1乘以s+2分之1乘到u2上边
才能共同的决定y1
这就可以看出来
各个输入和各个输出之间没有解耦
这是一个更一般的情况
我们把例子展示出来
怎么根据状态空间模型来导出传递函数矩阵
-线性系统理论的一个有趣应用
--视频
--动画文件
--课件
-系统的概念
--视频
--课件
-系统的概念--作业
-动态系统的分类
--视频
--课件
-动态系统的分类--作业
-因果系统的状态
--视频
--课件
-线性系统和非线性系统
--视频
--课件（1）
--课件（2）
-线性系统和非线性系统--作业
-定常系统和时变系统
--视频
--课件
-非线性系统的线性化
--视频
--课件
-非线性系统的线性化--作业
-时变系统的定常化
--视频
--课件
-时变系统的定常化--作业
-LST1-1-1 状态、状态空间及系统的状态空间描述（一）
--视频
--课件
-LST1-1-1 状态、状态空间及系统的状态空间描述（一）--作业
-LST1-1-2 状态、状态空间及系统的状态空间描述（二）
--视频
--课件
-LST1-1-2 状态、状态空间及系统的状态空间描述（二）--作业
-LST1-1-3 状态、状态空间及系统的状态空间描述（三）
--视频
--课件
-LST1-1-3 状态、状态空间及系统的状态空间描述（三）--作业
-LST1-2-1 由输出输入描述导出状态空间描述（一）
--视频
--课件
-LST1-2-1 由输出输入描述导出状态空间描述（一）--作业
-LST1-2-2 由输出输入描述导出状态空间描述（二）
--视频
--课件
-LST1-2-3 由输出输入描述导出状态空间描述（三）
--视频
--课件
-LST1-3-1 由方框图输入输出描述写出状态空间表达式（一）
--视频
--课件
-LST1-3-2 由方框图输入输出描述写出状态空间表达式（二）
--视频
--课件
-LST1-3-2 由方框图输入输出描述写出状态空间表达式（二）--作业
-LST1-4-1 由系统状态空间描述导出传递函数矩阵（一）
--视频
--课件
-LST1-4-2 由系统状态空间描述导出传递函数矩阵（二）
--视频
--课件
-LST1-4-2 由系统状态空间描述导出传递函数矩阵（二）--作业
-LST1-4-3 由系统状态空间描述导出传递函数矩阵（三）
--视频
--课件
-LST1-4-3 由系统状态空间描述导出传递函数矩阵（三）--作业
-LST1-4-4 由系统状态空间描述导出传递函数矩阵（四）
--视频
--课件
-LST1-5-1 线性定常系统的特征结构
--视频
--课件
-LST 1-6-1 线性定常系统的坐标变换及其特征（一）
--视频
--课件
-LST 1-6-1 线性定常系统的坐标变换及其特征（一）--作业
-LST1-6-2 线性定常系统的坐标变换及其特征（二）
--视频
--课件
-LST1-6-2 线性定常系统的坐标变换及其特征（二）--作业
-LST1-6-3 线性定常系统的坐标变换及其特征（三）
--视频
--课件
-LST1-6-3 线性定常系统的坐标变换及其特征（三）--作业
-LST1-6-4 线性定常系统的坐标变换及其特征（四）
--视频
--课件
-LST1-6-4 线性定常系统的坐标变换及其特征（四）--作业
-LST1-6-5 线性定常系统的坐标变换及其特征（五）
--视频
--课件
-LST2-1-1 线性连续定常系统状态方程的解
--视频
--课件
-LST2-1-1 线性连续定常系统状态方程的解--作业
-LST2-2-1 状态转移矩阵及其属性和算法（一）
--视频
--课件
-LST2-2-1 状态转移矩阵及其属性和算法（一）--作业
-LST2-2-2 状态转移矩阵及其属性和算法（二）
--视频
--课件
-LST2-3-1 脉冲响应矩阵
--视频
--课件
-LST2-4-1 系统的模态
--视频
--课件
-LST2-5-1 系统的外部稳定性
--视频
--课件
-LST2-6-1 线性定常系统的内部稳定性判据
--视频
--课件
-LST3-1-1 能控性与能观测性的定义（一）
--视频
--课件
-LST3-1-1 能控性与能观测性的定义（一）--作业
-LST3-1-2 能控性与能观测性的定义（二）
--视频
--课件
-LST3-1-2 能控性与能观测性的定义（二）--作业
-LST3-1-3 能控性与能观测性的定义（三）
--视频
--课件
-LST3-1-3 能控性与能观测性的定义（三）--作业
- LST3-1-4 能控性与能观测性的定义（四）
--视频
--课件
- LST3-1-4 能控性与能观测性的定义（四）--作业
- LST3-1-5 能控性与能观测性的定义（五）
--视频
--课件
- LST3-1-6 能控性与能观测性的定义（六）
--视频
--课件
- LST3-1-6 能控性与能观测性的定义（六）--作业
- LST3-2-1 能控性与能观测性的判据（一）
--视频
--课件
- LST3-2-2 能控性与能观测性的判据（二）
--视频
--课件
-LST3-2-3 能控性与能观测性的判据（三）
--视频
--课件
-LST3-2-4 能控性与能观测性的判据（四）
--视频
--课件
-LST3-2-5 能控性与能观测性的判据（五）
--视频
--课件
- LST3-2-6 能控性与能观测性的判据（六）
--视频
--课件
- LST3-2-6 能控性与能观测性的判据（六）--作业
-LST3-2-7 能控性与能观测性的判据（七）
--视频
--课件
-LST3-2-8 能控性与能观测性的判据（八）
--视频
--课件
-LST3-3-1 能控性能观性指数
--视频
--课件
-LST3-3-1 能控性能观性指数--作业
-LST3-4-1 对偶性原理（一）
--视频
--课件
-LST3-4-1 对偶性原理（一）--作业
-LST3-4-2 对偶性原理（二）
--视频
--课件
-LST3-4-2 对偶性原理（二）--作业
-LST3-5-1 系统结构的规范分解（一）
--视频
--课件
-LST3-5-1 系统结构的规范分解（一）--作业
-LST3-5-2 系统结构的规范分解（二）
--视频
--课件
-LST3-5-3 系统结构的规范分解（三）
--视频
--课件
-LST3-5-4 系统结构的规范分解（四）
--视频
--课件
-LST3-5-4 系统结构的规范分解（四）--作业
-LST3-6-1 能控标准型和能观标准型（一）
--视频
--课件
-LST3-6-2 能控标准型和能观标准型（二）
--视频
--课件
-LST3-7-1 传递函数矩阵的实现问题（一）
--视频
--课件
-LST3-7-1 传递函数矩阵的实现问题（一）--作业
-LST3-7-2 传递函数矩阵的实现问题（二）
--视频
--课件
-LST3-7-3 传递函数矩阵的实现问题（三）
--视频
--课件
-LST3-7-4 传递函数矩阵的实现问题（四）
--视频
--课件
-LST4-0 绪论
--视频
--课件
-LST4-0 绪论--作业
-LST4-1-1 状态反馈与输出反馈（一）
--视频
--课件
-LST4-1-1 状态反馈与输出反馈（一）--作业
-LST4-1-2 状态反馈与输出反馈（二）
--视频
--课件
-LST4-1-2 状态反馈与输出反馈（二）--作业
-LST4-1-3 状态反馈与输出反馈（三）
--视频
--课件
-LST4-1-3 状态反馈与输出反馈（三）--作业
-LST4-2-1 极点配置（一）
--视频
--课件
-LST4-2-1 极点配置（一）--作业
-LST4-2-2 极点配置（二）
--视频
--课件
-LST4-2-2 极点配置（二）--作业
-LST4-2-3 极点配置（三）
--视频
--课件
-LST4-2-4 极点配置（四）
--视频
--课件
-LST4-2-5 极点配置（五）
--视频
--课件
-LST4-2-5 极点配置（五）--作业
-LST4-2-6 极点配置（六）
--视频
--课件
-LST4-2-6 极点配置（六）--作业
-LST4-3-1 状态反馈镇定
--视频
--课件
-LST4-4-1 状态反馈解耦（一）
--视频
--课件
-LST4-4-1 状态反馈解耦（一）--作业
-LST4-4-2 状态反馈解耦（二）
--视频
--课件
-LST4-4-2 状态反馈解耦（二）--作业
-LST4-4-3 状态反馈解耦（三）
--视频
--课件
-LST4-4-3 状态反馈解耦（三）--作业
-LST4-5-1 状态观测器（一）
--视频
--课件
-LST4-5-1 状态观测器（一）--作业
-LST4-5-2 状态观测器（二）
--视频
--课件
-LST4-6-1 分离性原理（一）
--视频
--课件
-LST4-6-1 分离性原理（一）--作业
-LST4-6-2 分离性原理（二）
--视频
--课件
-LST4-6-3 分离性原理（三）
--视频
--课件
-LST4-7-1 跟踪控制和扰动抑制（一）
--视频
--课件
-LST4-7-1 跟踪控制和扰动抑制（一）--作业
-LST4-7-2 跟踪控制和扰动抑制（二）
--视频
--课件
-LST4-7-2 跟踪控制和扰动抑制（二）--作业
- LST4-7-3 跟踪控制和扰动抑制（三）
--视频
--课件
- LST4-7-3 跟踪控制和扰动抑制（三）--作业
-LST4-7-4 跟踪控制和扰动抑制（四）
--视频
--课件
-LST4-7-4 跟踪控制和扰动抑制（四）--作业
-LST4-8-1 线性二次型最优控制（一）
--视频
--课件
-LST4-8-1 线性二次型最优控制（一）--作业
-LST4-8-2 线性二次型最优控制（二）
--视频
--课件
-LST4-8-3 线性二次型最优控制（三）
--视频
--课件
- LST4-8-4 线性二次型最优控制（四）
--视频
--课件
-LST5-0 复频域理论概论
--视频
--课件
-LST5-1-1 传递函数阵及其MFD
--视频
--课件
-LST5-1-1 传递函数阵及其MFD--作业
-LST5-2-1 MFD的真性及其判别准则
--视频
--课件
-LST5-2-2 由非真MFD导出严格真MFD
--视频
--课件
-LST5-3-1 不可简约MFD（一）
--视频
--课件
-LST5-3-1 不可简约MFD（一）--作业
-LST5-3-2 不可简约MFD（二）
--视频
--课件
-LST6-1-1 Smith-McMillan形
--视频
--课件
-LST6-1-1 Smith-McMillan形--作业
-LST6-2-1 多变量系统的极点零点定义和属性
--视频
--课件
-LST6-2-1 多变量系统的极点零点定义和属性--作业
-LST6-2-2 结构指数，无穷远处的极点和零点（一）
--视频
--课件
-LST6-2-3 结构指数，无穷远处的极点和零点（二）
--视频
--课件
-LST6-2-3 结构指数，无穷远处的极点和零点（二）--作业
-LST6-2-4 传递函数阵在极点零点上的评价值
--视频
--课件
-LST6-3-1 零空间
--视频
--课件
-LST6-3-2 最小多项式基和Kronecker指数
--视频
--课件
-LST6-3-2 最小多项式基和Kronecker指数--作业
-LST6-3-3 传递函数阵的亏数
--视频
--课件
-LST7-1-1 多项式矩阵描述
--视频
--课件
-LST7-1-2 不可简约的多项式矩阵描述
--视频
--课件
-LST7-1-2 不可简约的多项式矩阵描述--作业
-LST7-2-1 解耦零点
--视频
--课件
-LST7-2-1 解耦零点--作业
-LST7-3-1 系统矩阵
--视频
--课件
- LST7-4-1 严格系统等价（一）
--视频
--课件
- LST7-4-1 严格系统等价（一）--作业
-LST7-4-2 严格系统等价（二）
--视频
--课件
-LST7-4-2 严格系统等价（二）--作业
-LST8-1-1 具有补偿器的输出反馈（一）
--视频
--课件
-LST8-1-2 具有补偿器的输出反馈（二）
--视频
--课件
-LST8-1-3 具有补偿器的输出反馈（三）
--视频
--课件
- LST8-1-4 具有补偿器的输出反馈（四）
--视频
--课件
-LST8-2-1 输出反馈动态解耦控制（一）
--视频
--课件
-LST8-2-2 输出反馈动态解耦控制（二）
--视频
--课件
