当前课程知识点：线性系统理论 > 第四周（第二部分：线性系统的时域理论）：状态变量的能控性和能观性（一） > LST3-2-3 能控性与能观测性的判据（三） > 视频
我们此前给大家介绍这个判据是模态判据
模态判据 如果你知道它的特征值
并且能够进行相似对角化
或者干脆你给的这个状态方程就是个约当标准型的话
那是非常容易直接应用的
而且它跟我们去分析能控性的例子也是很有帮助的
但是我们有的时候你要说计算特征值甚至相似对角化
或者约当标准型做坐标变换的话
计算还是相当繁琐的
那我们能不能有一些其他的判据
来帮助我们通过原始的系统参数矩阵来给出这个判据
我们下面来讨论这类判据
那么我们首先给出这个状态能控的格拉姆矩阵判据
这个应该说它是一个分析能控性的一个基础性的判据
它在理论上有重要意义
我们先看给定系统状态空间的模型是*
然后呢 我们说 下面这个结论非常重要
它是说状态完全能控的充分必要条件
是存在一个大于零的时刻t1
使得我们如下定义的格拉姆矩阵它是非奇异的
这个格拉姆矩阵写成
Wc然后依赖于[0 t1]这个区间的
它是这样的积分 是从零到t1积分
被积的式子是这个e^(-At)BB^(T)e^(-A^(T)t)
这个式子 整个在[0 t1]积分
由于e^(-At) B都是矩阵
那么乘出来的结果是个方阵
所以我们来说
这个判据的叙述 就是说你要完全能控
那么就去检验是不是存在这样的t1
让这样一个矩阵的秩是满秩的
或者它是一个非奇异矩阵
那么我们下面就给出一个证明
这个地方也能够看得出来
就是我们前面对系统做运动分析给出状态响应
这样的解析表达式能够帮助我们
建立起来对线性定常系统诸多性质
甚至包括后面进行综合的方法的支撑
也作为它的一个应用
我们首先来证明这个判据的充分性
也就是说 如果我知道这个格拉姆矩阵W
它是非奇异的
我怎么样给出这样一个可行的u(t)
让它把初始状态x0
任何一个x0 都给它最终在t1时刻转到原点上去
有没有这样的u呢
我们下面来看一下
由于格拉姆矩阵是非奇异的
我们接下来就用这样的矩阵
去构造性的给一个u(t)出来
这个u(t)是怎么定义的
-B^Te^(-A^(T)t)Wc^(-1)x0
可以看到这里的u(t)是什么呢
它是依赖于时间的
但是只是e^(-A^(T)t)依赖时间
B W x0都是和时间无关的
这几项都是常数项
那我们把这个u(t)
代到这个系统的状态响应表达式里边去
我们知道底下表达式写出来是
x(t1)它是怎么样定的呢
e^(At)乘上x0再加上一个卷积项
卷积项就是e^(-At)Bu(t)进行卷积
我们对这个卷积的式子进行一下整理
整理成下面这个式子
x(t1)等于e^(At)乘上括号x0减去后边这一项
那么括号里面这一项实际上
也是在x0前面乘上了一个大的矩阵
不过这个矩阵是一个积分乘以W的逆
我们看看积分这一项
如果把这个乘积乘进去
我们会发现积分这一项是谁呢
积分这一项如果你对照一下W定义
你会发现
实际上我们在下式里面得到这个积分
乘到这个W逆前的这一项恰好就是W本事
所以假设这个W可逆的话
我们得到的结果就是
e^(At)乘x0减去W*W^(-1)*x0
显然x0减x0也就是零
所以我们发现
这样构造出来的u(t)恰好能够满足我们的要求
就是让我们的x0转移到原点
这就是一个可行的控制
所以x0又是随便给的
这样我们就知道
这个系统是完全能控的
这是充分性
那么必要性 我们下面就给出必要性的证明
必要性是说 如果它是完全能控的话
W矩阵应该是非奇异的
现在我们就来假设它是奇异的
即使是能控的
它也是可能奇异 这就矛盾了
下面我们用反证法来证明
如果说W是奇异的
一定存在着非零的x0
这样一个向量 使得x0拔
它的转置乘上W再乘上x0拔
这样一个二次型等于0
这就是因为W是一个奇异的矩阵
就总能找到这样例外的向量让它等于0
能找到这样的话怎么办呢
我们可以根据W的表达式
它不是个积分的表达式吗
那我们把积分的表达式拿来代入这个二次型
我们经过整理以后可以证明什么呢
就是这个积分里面可以写成
B^Te^(-A^(T)t)x0一拔
这样一个矩阵范数平方的积分
那么这样一个范数平方积分的结果
我们就可以知道这里面它的结果也等于0
我们知道这个二次型等于0
又把这个二次型写成一个非负的函数积分的形式
所以我们知道被积式非负的这一项
它实际上在整个[0 t1]区间上是恒等于0的
对于我们选定的例外的这个x0拔向量来说
我们是可以通过这个构造的方法
由于这个系统它是能控的
我们这么假设的
它也是应该存在u(t)使得它在t1时刻转移到零
这是我们对能控性的定义
那么就是说 零等于x(t1)
把这个式子代进去
把u(t)的状态响应的完整表达式写出来
这个时候根据这个关系我们知道
x0它应该等于e^(-At)Bu(t)
在[0 t1]的积分再加上一个负号
于是我们就知道x0拔的转置乘以x0拔
这个特殊的二次型 它也有一个积分的表达式
这个东西乘上去以后
我们看到的结果是负的[0 t1]的积分
积分的式子是
u^(T)*B^T*e^(-A^(T)t)*x0拔
整个这个东西积分
我们刚才已经说过了
e^(-A^(T)t)*x0拔这个东西
它是一个0到t1上面恒等于零的
由我们前面那个式子导出的结果
那么我们也就知道
整个积分就是x0拔的转置乘以x0拔
这个负的积分的结果
被积式整个处处为零
所以整个积分结果为0
那么这个等于零就推出什么呢
就是x0拔这个向量本身得是零向量
而这个跟我们前面说它是个例外向量
非零的向量让Wc构成的二次型等于0
Wc的奇异性相矛盾了
所以我们知道
如果状态是完全能控的话
对于Wc这个矩阵来说
它一定要是非奇异的
这就证明它的必要性
于是我们就建立起来关于能控性的格拉姆矩阵判据
当然大家看这个矩阵是一个积分形式给出来的
显然从计算的角度不是特别的好用
但是它到底有什么用呢
我们下面会给大家详细的介绍
-线性系统理论的一个有趣应用
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-动态系统的分类
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-LST1-1-1 状态、状态空间及系统的状态空间描述（一）
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-LST1-1-2 状态、状态空间及系统的状态空间描述（二）
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-LST1-4-1 由系统状态空间描述导出传递函数矩阵（一）
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-LST1-4-3 由系统状态空间描述导出传递函数矩阵（三）
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-LST1-4-4 由系统状态空间描述导出传递函数矩阵（四）
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-LST 1-6-1 线性定常系统的坐标变换及其特征（一）
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-LST1-6-2 线性定常系统的坐标变换及其特征（二）
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-LST1-6-3 线性定常系统的坐标变换及其特征（三）
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-LST1-6-4 线性定常系统的坐标变换及其特征（四）
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-LST1-6-5 线性定常系统的坐标变换及其特征（五）
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-LST2-2-1 状态转移矩阵及其属性和算法（一）
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-LST2-3-1 脉冲响应矩阵
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-LST3-1-2 能控性与能观测性的定义（二）
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- LST3-1-4 能控性与能观测性的定义（四）
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- LST3-1-5 能控性与能观测性的定义（五）
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- LST3-1-6 能控性与能观测性的定义（六）
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- LST3-2-6 能控性与能观测性的判据（六）
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-LST3-2-7 能控性与能观测性的判据（七）
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-LST3-2-8 能控性与能观测性的判据（八）
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