当前课程知识点：University Physics - Electricity and Magnetism > Chapter I Electric Fields > Lecture 5 Evaluation of Electric Field (II) > Lecture 5 Evaluation of Electric Field (II)
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我们继续讨论如何计算电荷连续分布的带电体的电场。大家有什么想法吗? 上一讲我们已经会计算点电荷以及点电荷系的电场。
那么如何将电荷连续分布带电体与点电荷相联系？大家还记得我们之前讨论的?
在讨论质量连续分布模型的时候，我们把物体分割为无限多个质量元, 每一个质量元为dm, dm可以看成是一个质点。
同样，我们可以把连续带电体分割为无限多个电荷元, 每一个电荷元带电量为dq，dq可看成是一个点电荷。
利用点电荷的电场，我们可以计算每一个电荷元在 P点产生的场强, 然后应用叠加原理将所有电荷元产生的场强相加，得到总场强。
电荷元dq 在P点处的场强的dE可以用这个方程来表示。其中，r表示电荷元dq到场点P的距离，单位矢量r由电荷元指向场点P。
然后对整个带电体进行积分得到总场强E. 但要注意，此式为矢量积分，一定要注意每一个电荷元产生的电场方向。
类比于物体的质量分布，三种不同类型的电荷分布对应不同类型的电荷密度。
我们用ρ, σ 和 λ分别表示体电荷密度，面电荷密度和线电荷密度。电荷元dq可以由这三个式子来表示。
现在我们举几个例子来讨论如何计算电荷连续分布带电体的电场。
我们来看第一个例子， 计算均匀带电细棒的电场。棒的长度为l. 线电荷密度为λ，总带电量为+Q.
请计算P点处的场强, P点位于x轴，距离细棒的一端为a.
我们可以把这根棒分为无限多个电荷元，每一个电荷元的长度为dx. 由于细棒带正电，即每一个电荷元dq都是正的，那么在P点处，每一个电荷元dq产生的电场dE都沿x负向。
因此，我们积分的时候就不需要考虑矢量的问题。正如我们之前讨论的，电荷元的电量dq应该等于线电荷密度λ乘以dx.
我们注意到， ke 和 λ 都是常数，可以提到积分号外面. 经过积分，我们得到总场强E。
从这个表达式可以看出，如果P点距离细棒非常远，换句话说，a 远远大于l, 分母中的l可以忽略不计，则场强E 的公式简化为该式，此式正好表示的是点电荷Q产生的电场。
这是合理的，因为如果P点很远，细棒的几何尺寸可以忽略，完全可以看成是一个点电荷。
我们看下一个例子。这是一个均匀带电圆环，半径为R ，线电荷密度为λ. 请计算P点处的场强。P点位于圆环中心轴，距离中心为x.
如图所示，位于圆环顶端的电荷元dq在P点处的场强dE可以分解为两个分量dEx和dE垂直。
dEx 平行于 x 轴，dE⊥ 垂直于x 轴. 我们先来看关于中心对称的两个电荷元产生的电场分布。
由于对称性，这两个电荷元产生的电场，垂直分量正好抵消。
而对于整个圆环，每一对这样的电荷元产生的电场都有这样的对称性。所以总场强的垂直分量为零。
我们只需要将平行分量相加即可。现在，我们根据这个表达式，探讨几个特殊位置的场强。
在圆环中心，x=0, 所以场强为零。
当x远远大于圆环半径，即场点P距离圆环很远，此时圆环的电荷分布可以忽略。
在种情形下，圆环可以看成是一个点电荷。因此，场强的表达式变为此式，正好为点电荷的电场。
好，我们再多讲一个例子。这是一个均匀带电圆盘。半径为R，面电荷密度为σ. 请计算P点处的场强。P点位于圆盘中轴线上，距离圆盘中心为x.
这个问题的关键在于确定电荷元dq. 上一个例子，我们已经得到了均匀带电圆环的场强。
因此，我们可以将圆盘分割成一系列的半径为r宽度为dr的同心圆环，每一个圆环的面积等于2πrdr.
我们先计算带电圆环的电场dE, 然后通过积分得到总场强。由于对称性，P点的场强沿x方向。
利用上一个例子得到的Ex表达式，我们用圆环的半径r替代R， dq替代大Q，于是，我们得到电荷元dq产生的电场dEx.
对整个圆盘进行积分，下限为0，上限为R，得到P点处的总场强.
当场点离圆盘很远，也就是x远远大于R， 则圆盘可以看成一个点电荷。场强的表达式变为点电荷Q产生的场强表达式。
如果x远远小于R，此时我们可以计算得到距离圆盘很近的点的场强。在此情况下，此式变为近场的近似表达。
那么，如果圆盘的半径趋于无限大，情况又会怎样？当圆盘的半径趋于无穷大, 场强简化为这个表达式。
我们发现，这个表达式与x远小于R时的情形一样。
我们可以理解，当圆盘变为无限大平面，周围每一点都是近场，结果与测量位置无关。即无限大带电平面产生的电场为匀强电场。
上面的例子讨论了如何计算电荷连续分布带电体的电场强度。
关键是根据电荷分布类型，确定电荷元dq的表达形式。总场强就等于所有dq产生的场强矢量和。
好的，下节课见。
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