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上一讲我们介绍了毕奥-萨伐尔定律。现在，我就举例说明如何应用毕奥-萨伐尔定律计算磁场。
我们考虑一段有限长直导线，通有恒定电流I，如图，长直导线沿x轴。计算这段通电导线在点P产生的磁场的大小和和方向。
这是毕奥-萨伐尔定律应用的一个典型例子。我们先考虑线元ds, 距离点P为r.
首先，我们确定由电流元Ids在P点处激发的磁场方向。由于叉乘的结果垂直向外，因而dB垂直向外。
实际上，所有电流元都处于xy 平面，它们在P点处的磁场方向都是垂直向外。
因此，P点的总磁场方向垂直向外。我们仅考虑磁场大小。
请看这个三角形。我们可以得到矢量ds和单位矢量r的叉乘结果等于dscosθk. 单位矢量k方向垂直向外。
应用毕萨定律，我们代换叉乘，写出磁场dB的表达式.
从图中的几何关系，可以用θ表示r，r等于a除以cosθ, x 等于a乘以tanθ的负值. 由此我们得到dx与dθ之间的关系式。
我们把上述的关系式代入dx和r. 然后对dB进行积分，如图所示，张角范围从θ1到θ2.
这就是有限长载流导线在P点产生的磁场B的表达式。
现在我们考虑一个问题，假如这段导线变为无限长， P点的磁场又如何？
在这种情形下，θ1等于90 度， θ2等于负90度. 于是磁场B 等于 μ0 乘以I 除以2 π a.
这个结果表明载流直导线产生的磁场与电流I成正比，与距离a成反比。
请回顾线电荷密度为λ的无限长带电直线在空间一点产生的电场。E 等于λ除以2πε0r。这两个表达式有着极为相似的数学形式。
好，我们来研究一下无限长直导线产生的磁场的特点。通过这个表达式，我们看出，与直导线垂直距离为a的所有点的磁场大小都相等。
相应地，磁场具有轴对称性。磁场线是一组同心圆，如图所示。
磁场线是一组以直导线为轴的同心圆. 因此半径相同的圆上各点的磁场大小相等。以这些圆为边界的平面垂直于直导线。
方向呢？如图，我们可以通过右手定则确定磁场方向。
如果右手大拇指指向电流方向，则四指弯曲的绕行方向即为磁场方向。
我们来讨论第二个例子。如图所示，我们要计算载流导线在O点产生的磁场。
我们注意到，载流导线由两段直导线和一段半径为a的圆弧构成，张角为θ。
很明显，由于构成直导线的所有线元平行于r，导致叉乘结果等于0，因此两段直导线在O点产生的磁场为零。
所以在O点处的总磁场就等于圆弧导线产生的磁场，现在我们应用毕奥-萨伐尔定律来进行计算。
我们注意到，圆弧上的各线元ds到O点的距离都相同. 且线元矢量ds总是垂直于单位矢r, 因此，ds叉乘r的大小等于ds。
通过右手定则，我们可以确定每一个电流元在O点处产生的磁场都垂直向里。
基于上述分析，我们写出电流元Ids在O点产生的磁场 dB的表达式。
然后积分dB。 这里，a 和I都是常数，可以提到积分号外。ds的线积分为S，等于a乘以θ。于是我们得到磁场B的表达式。
好，我们来看这个式子。这里有一个问题。基于这个结果，我们可以得到半径为R的通有电流I半径为R的圆线圈在圆心处产生的磁场吗？
可以看出，当θ增加至2π时，圆弧变为完整的圆环。
因此，当θ等于2π时，可以得到载流圆线圈在中心产生的磁场。B等于μ0乘以I除以2a.
好，现在我们考虑一个半径为a的圆环, 处于yz平面。通有恒定电流I。我们想要计算P点处的磁场，P点位于圆形载流导线的轴线上，距离圆心为x，如图所示.
我们先考虑圆导线顶端的电流元在P点产生的磁场dB。
dB可以分解为两个分量，一个平行于x轴的分量dBx, 一个垂直于x轴的分量dB垂直。
注意到对称性，我们再考虑圆导线底端的电流元在P点的磁场dB’.
我们发现圆环顶端电流元和底端电流元在P点处的磁场的垂直分量抵消。
显然，对圆导线来说，相对圆心对称的每一对电流元产生的磁场，垂直分量都会抵消
因此，P点处的磁场只有x分量dBx. 我们只需要关注x分量，将所有分量相加即可得到总场强。
应用比萨定律，我们写出dB的表达式。
从图中几何关系可以看出，圆电流的每一线元ds总是垂直于该处的单位矢量r。
因此，ds叉乘r的大小等于ds. 所有电流元到P点距离r都相等。
我们将r的平方替换为：a的平方加上x的平方。
x的分量dBx等于dB乘以cosθ. 然后对dBx进行积分。
从图中的几何关系看出，cosθ可由此式代换。
a和x都是常数，可以移到积分号外，对ds进行积分，最后得到总磁场.
基于以上结果，当x=0时，我们可以得到圆导线圆心处的磁场。
Bx等于μ0乘以 I 除以 2a. 此结果与上一个例子通过圆弧得到的表达式完全一致。
现在，我们来看看通电圆线圈的磁场线的特点。
很明显，通电圆线圈的磁场线的形状与条形磁铁的磁场线形状极为相似，都具有轴对称性。
那如何确定磁场方向呢？仍是右手定则。右手的四指沿导线电流的方向弯曲绕行，大拇指的指向即为磁场方向。
我们已经知道载流导线会产生磁场。而另一方面，我们也知道载流导线在磁场中又会受到磁场力的作用。
那么，如果空间中有两根载流导线，情况会怎样？那两根导线之间必然发生相互作用。
我们来考虑一个简单的情形。请看这幅图，有两根相互平行相距为a的长直载流导线，分别通有电流I1和I2. I1和I2同向.
这里，我们将I2作为场源电流，I1作为试验电流。
首先计算出I2产生的磁场B2.
我们知道由I2产生的B2d的磁场线为一组以导线2为轴的同心圆。圆上各点的切线方向为磁场的方向。
由于I1与I2平行，因此，B2在I1导线上各点的磁场大小相同，方向相同，都垂直于导线I1,如图所示。
我们用F1表示B2施加给I1的磁场力。F1等于I1l叉乘B2. 由于I1垂直于B2，我们得到此式：F1大小等于I1乘以l乘以B2. B2等于μ0 乘以 I2 除以 2πa.
将B2的表达式代入此式，得到F1的表达式。
通过右手定则，我们可以确定F1的方向，F1指向I2，如图所示。
我们可以采用同样的方法计算由I1产生的磁场B1施加给I2的磁场力F2.
结果，F2与F1大小相等，方向相反,遵循牛顿第三定律。
在此情形下，两根电流相互吸引。
当其中一根导线的电流反向，换句话说，两根导线的电流方向相反，则两根导线相互排斥。
由此，我们得到结论：两根相互平行的导线，通有相同方向的电流，相互吸引，反之，电流方向相反，则导线相互排斥。
好，下一讲，我们继续讨论对称电流分布产生的磁场特点。我们将会发现磁场中的一个重要定理。
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