当前课程知识点：University Physics - Electricity and Magnetism > Chapter III Magnetic Fields > Lecture 28 Application of Ampere’s Law > Lecture 28 Application of Ampere’s Law
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这一讲，我们将举例说明如何应用安培环路定理求解具有对称性的磁场。
考虑无限长载流圆柱体，半径为R, 通有电流I，电流分布均匀。求磁场分布。
这种情形下，我们有两个区域，圆柱体内部和圆柱体外部。
基于我们对长直载流导线的磁场特点的分析，磁场线为一组以圆柱体中心轴线为轴的同心圆。
基于磁场线的对称性，我们可以应用安培环路定理来求解磁场。
那么如何选择安培环？我们知道半径相同的环路上各点的磁场有相同的大小，方向沿圆周的切向。
因此，我们选择半径为r的闭合圆周为安培环。
对于圆柱体外部区域，安培环的半径r大于圆柱体的半径R，根据安培环路定理，我们写出这个方程式。
我们注意到ds和B都沿圆周切向。B点乘ds等于Bds, B 为常数，提到积分号外。
ds沿闭合回路的线积分等于圆周长2πr. 穿过闭合环路的总电流就等于通过圆柱体的电流I。我们求解B.
对于圆柱体内部的区域，我们也可以应用安培环路定理来求解磁场。类似地，安培环的半径r小于圆柱体的半径R.
在这种情况下，安培环所包围的总电流I’小于通过圆柱体的总电流I。现在我们需要确定安培环包围的I’。
由于电流沿导线横截面分布均匀，所以我们有：回路2包围的电流I’与导线总电流I的比值等于以回路2为边界的圆平面的面积πr的平方与导线横截面积πR2的比值。
求解I’。然后应用安培定理，代换I’得到此式后，求解得到B。
这是磁感强度与r的函数关系图。
我们可以看到，圆柱体中心的磁场等于零。在圆柱体内部，磁场随r线性增加。在圆柱体外部，磁场与r成反比。
我们注意到，当r等于圆柱体的半径R时，磁场的大小是同一个值。这表明磁场在圆柱体表面是连续的。
我们来看第二个例子。一个长直螺线管。如图所示，通有恒定电流I的长直螺线管的磁场线。
螺线管的总磁场就是所有线圈产生的磁场的矢量和。如果线圈密绕，每一匝线圈可以近似为一个圆线圈。
磁场线与条形磁铁的磁场线极为相似。因此，螺线管的一端为北极，另一端为南极。
随着螺线管长度增加，管内的磁场会变得更加均匀，管外的磁场会变得越来越弱。
如果线圈密绕，而且螺线管的长度远大于线圈横截面的半径，那么管内的磁场为匀强磁场，管外的磁场为零。这样的螺线管就是我们关注的理想螺线管。
我们可以应用安培环路定理来计算理想螺线管的磁场。这是理想螺线管的截面图。关键是如何选取合适的闭合路径作为安培环。
请看这幅图。我们考虑一个场为l宽为w的矩形框作为安培环，其绕行方向为逆时针。
矩形框有四个边。磁感强度B沿矩形框的线积分等于沿各边的积分之和。
我们注意到由于B垂直于ds, 因此，沿边2和边4的积分等于零。
同时，由于管外的磁场为零，沿边1的积分也为零。因此，整个闭合回路的积分就等于沿边3的积分。
方程式的右边为穿过以积分路径为边界的任意面的总电流I。
此时，穿过安培环的总电流应该等于通过每匝线圈的电流I乘以矩形框所包围的匝数。
如果N为长度l的匝数，则穿过矩形框的总电流等于NI.
B是匀强磁场，平行于ds, 因此应用安培定理我们得到此式。
求解B，得到B的表达式，其中小n表示单位长度上的匝数。
如果我们定义沿螺线管轴线方向单位长度上的电流为表面电流密度K，K等于nI, 则磁场可表示为B等于μ0乘以K.
下面考虑由N 匝密绕线圈组成的螺绕环，请计算磁场分布。那么什么是螺绕环？
请看这幅图。我们把长直螺线管的两端接在一起，便形成螺绕环。
那么磁场被限制在环内，环外的磁场非常小，可以忽略不计。
设想每一匝线圈可看成是一个圆电流。我们知道圆电流中心的磁场与圆线圈平面垂直。
因此， 环内的磁场线应该是一组以螺绕环中心为圆心的同心圆。如图所示，各点的磁场方向沿虚线的切向。
所以我们选取同心圆作为安培环。注意到导线穿过闭合回路N次，因此安培环所围的总电流等于NI.
基于以上分析，我们应用安培定理得到此式，其中，r为螺绕环中心到场点的距离。我们求解B。
从这个结果可以看出，螺绕环内的磁场与理想螺线管内的磁场不同。螺绕环内的磁场不是匀强磁场，而是与r成反比。
以上的例子说明了如何应用安培环路定理求解对称磁场B，这一点可以类比于采用高斯定理求解对称电场E。
那么，磁感强度B沿闭合曲面的积分又如何呢？下一讲我们讨论这个问题。
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