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这一讲，我们将讲解如何计算电势。先看一个简单的例子——如图，点电荷q的电势分布。
根据这个方程，如果电场分布已知，我们可以计算出任意两点A和B之间的电势差。
如之前所讨论的，正点电荷q产生的电场分布由此方程表示，其中，单位矢量r沿径向向外。
为了确定距离电荷r处的电势，我们先计算电势差。
将E的表达式代入此式。由于单位矢量r的大小等于1，单位矢量r和ds的点乘等于dscosθ, θ为单位矢量r和ds之间的夹角。
请看这幅图。我们发现dscosθ 等于ds 在单位矢量r上的投影, 因此dscosθ = dr。即从A到B沿着路径任意位移元ds引起场点相对场源电荷的位置矢量r大小的增量dr.
进行各项代换后，我们得到了这个方程式，即A点与B点两点之间的电势差。
我们从这个方程可以得到哪些信息？我们注意到电场强度的线积分仅与始末位置相关，换句话说，与选取的积分路径无关。
如果我们将此式乘以电荷q0, 就得到电场力对电荷q0所作的功，此式也与积分路径无关，这个结果表明电场力是保守力。
我们定义与保守力相关的场为保守场。因此，静电场沿闭合路径的积分必等于零。
习惯上我们选取无穷远处为势能零点，基于这个参考点，这个方程表示的就是距离源电荷r处的任一点的电势。
如果空间中有两个或以上的点电荷，如何计算电势? 还记得叠加原理吗？
空间中任意一点P的总电势等于各个点电荷单独存在时在该点产生的电势的代数和。
请注意这是代数和而非矢量和。不需要考虑方向。
我们已经知道如何计算点电荷和点电荷系所产生的电势。那么如何计算电荷连续分布带电体的电势呢？
是否还记得如何计算电荷连续分布带电体的电场？我们将带电体分成无限多个电荷元，每个电荷元带电量为dq. dq可以看成是点电荷。
这里我们也可以用相同的方法来计算电荷连续分布带电体的电势。第一步就是确定电荷元dq.
然后计算出电荷元dq产生的电势。在某点P产生的电势dV可由此方程计算, 其中，r是电荷元dq到点P之间的距离。
为了得到P点处的总电势，我们对dV积分计算出所有电荷元产生的电势，如此式所示。可以看到当P为无穷远处的点，其电势等于零。
下面我们来举例讨论。请看这幅图。均匀带电细圆环，半径为a, 带电量Q.
求P点的电势，P点位于穿过圆环中心垂直环圆平面的轴线上。
从图上可以看出，x轴垂直于圆环平面，原点位于圆环中心。
由对称性可以得到圆环上所有电荷元到P点的距离都相等。
我们应用之前得到的方程式，将此式代入r。ke是常数可以提到积分号外。注意到a 和 x保持不变，也可提到积分号外。
对dq积分得到此式。电势是标量所以不用考虑方向的问题。
来看另一个例子。这是一个均匀带电圆盘，半径为R，电荷面密度为σ.
P点位于通过平面中心且垂直平面的轴线上，那么P点的电势式多少？
如之前所讨论的，圆盘可以看成是由一组同心带电圆环构成。每一个带电圆环半径为r宽度为dr，面积为2πrdr, 如图所示。
利用圆环电势的结果，将所有构成圆盘的同心圆环产生的电势相加。
我们确定圆环的带电量dq，然后确定其产生的电势dV. 从0到半径R积分dV，得到P点处的总电势。
在有些情况下，如果空间的电场分布已经知道，比如应用高斯定理可以得到，那么我们可以通过做功的方法来计算电荷连续分布带电体的电势。
如果电荷分布具有高度对称性，我们首先应用高斯定理求出电场分布，然后计算任意两点之间的电势差。
我们可以选取一个合适的位置作为电势零点，得到空间中某点的电势。
现在举一个例子。请看这幅图。这是一个均匀带电球面，总带电量为Q， 半径为R。请分别计算球内一点A和球外一点B的电势。
由于球对称性分布，我们可以应用高斯定理求出空间中的电场。这是电场分布的表达式。
根据电势定义，我们可以通过电场的线积分求出电势。
电场中某点的电势等于电场力将单位正电荷从该点移动到无穷远处所做的功。
因此，对于球面内一点A, 即小r小于大R，点A的电势等于电场从小r积分到无穷远处。
但这里关键是要注意，球面内和球面外的电场强度表达式不相同，所以积分要分为两项。
第一项是从小r积分到球面R处， 第二项是从球面R处积分到无穷远处。
由于球面内电场为零，所以第一项积分为零，由此，我们得到球面内任一点A的电势表达式。
那么球面外的电势又如何呢？仍然等于电场从小r积分到无穷远处。
但这里的情形是，小r大于球面半径R, 因此整个积分过程，电场表达式不变。于是得到球面外一点电势的表达式。
这个图描绘了均匀带电球面的电势分布。我们注意到球面内电势处处相等，为常量，而球面外的电势与距离r成反比关系。
上面的这个例子讨论了在电场已知的情况下，如何计算电势。那么如果情况正好相反又会怎样？下一讲继续讨论。
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