当前课程知识点：University Physics - Electricity and Magnetism > Chapter I Electric Fields > Lecture 12 Finding E from V > Lecture 12 Finding E from V
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我们先回顾上一讲讨论的一个结果。半径为R的均匀带电球面，带电量为Q.
我们计算得到空间的电场和电势。现在来比较一下电场和电势分布，如图所示。
我们注意到，球面外，电势与距离r的一次方成反比，而电场与距离r的平方成反比。球面内电势为常数，而电场为零，
今天我们就来探究一下E和V之间的关系。
我们已经知道在电场已知的情况下如何计算电势。那么反过来又如何呢？如果给定区域的电势已知，又如何计算电场呢？
我们知道，电势差dV可以由此式表示。假设电场只有一个分量Ex, 那么E和ds的点乘结果变为Exdx.
由此，Ex等于电势V对x导数的负值. 这个方程告诉我们电场中某一点的电场沿x方向上的分量等于该点的电势沿x方向单位长度上变化率的负值。
对于y和z 方向上的分量也可以得到相同形式的方程式。因此，电场是电势随位置变化率的量度。
如果电场具有球对称性，电场强度E和位移dr的点乘结果变为Erdr. dV等于Erdr的负值. 因此，Er就等于电势V对r导数的负值.
再看上述的例子。球面外，电势V等于keq 除以r, 因为电势仅仅是r的函数，电势具有球对称性。
应用这个方程式，我们得到球面外的电场。E等于keq除以r的平方。
同样，球面内，V等于常数，所以导数为零，电场为零。
一般情况下，电势为x,y,z的函数，因此，电场强度分量Ex, Ey 和 Ez 可由电势分别对x,y和z求偏导得到，正如这三个方程式所示。
因此，如果在某一方向上如果电势没有变化，那么电场强度在这一方向上的分量就等于零。
如果在某一面上各点的电势是常数，那么这个面称为等势面。如果一个电荷沿着等势面上移动，则电势变化为零。
从这个方程可以得到，由于电势变化为零，则电场矢量E一定与位移微元矢量ds垂直。这就意味着某点的电场强度与通过该点的等势面垂直.
从这些图上你可以观察到等势面的特点。蓝色虚线表示等势面，棕色实线代表电场线。
很明显，各点的电场与通过该点的等势面垂直。
例如，对于点电荷的电场来讲，电势变化沿径向。
因此在这种情况下，等势面为一组以点电荷为球心的同心球面，如图b所示。这些同心球面与沿径向方向的电场线垂直。
到目前为止，我们花了很多时间讨论了真空中静电场的性质，即没有其它物体存在。
如果把其它物体放入电场，物体和电场如何相互作用？下一讲我们将探讨这个问题。
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