当前课程知识点：University Physics - Electricity and Magnetism > Chapter III Magnetic Fields > Lecture 24 Magnetic Force on a Current—Carrying Conductor > Lecture 24 Magnetic Force on a Current—Carrying Conductor
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我们已经探讨了单个带电粒子在磁场中运动的受力情况。
现在考虑一段磁场中的载流导线。我们知道电流是导线中电荷的定向移动。
既然每一个带电粒子都受到磁场力，载流导线在磁场中也必然受到磁场力的作用。
所受到的力应该是单个载流子受到的磁场力的矢量和。
如图，我们很容易通过实验来演示载流导线在磁场中的受力情况。
磁场垂直向里。当导线中没有电流，导线保持竖直，说明没有受力。
当导线中通入向上的电流，发现导线向左弯曲，如果电流方向反向，则导线向右弯曲。
现在我们定量分析一下导线的受力情况。考虑一段直导线，长为L，横截面为A，如图所示。导线通电流I。
匀强磁场B垂直向里。导线内载流子+q向右运动，漂移速度vd.
我们知道电荷q受到的磁场力等于qvd叉乘B.
这一段导线内的载流子带电量等于q(nAL)，其中n 为载流子浓度。因此，整段导线受到的力应该等于vd叉乘B再乘以q(nAL).
考虑到I= nqvdA，我们可以将此式重新写成： IL 叉乘 B. 这里的L为长度矢量，大小等于长度L，方向定义为此处的电流方向。
但请注意这个公式仅适用于匀强磁场中的直导线。
如图所示，对于任意形状的导线，如何确定磁场力呢？我们将导线分割为无穷多个线元。
ds为线元矢量。基于上述得到的公式，电流元Ids受到的磁场力等于Ids叉乘B。
如这个积分式所示，整段载流导线受到的磁场力等于所有电流元受到的磁场力的矢量和。
我们来看一个例子。如图所示，位于xy平面的闭合半圆形线圈，通有电流I，逆时针方向。
匀强磁场沿y轴正向。 我们来确定一下作用于半圆导线部分及直导线部分的磁场力的大小和方向。
由右手定则，可以判断作用于直导线部分的力F1垂直xy平面向外，作用于半圆导线部分的力F2垂直xy平面向里。
在直导线部分，我们注意到各点的ds均与B垂直。
考虑到直导线部分的长度等于2R，因此，F1可由此式计算：I2R i叉乘Bj, 单位矢量k的方向为垂直xy平面向外。
为了确定半圆导线的受力F2，我们先求出电流元Ids受到的磁场力dF2. dF2等于 I ds 叉乘 B, 等于IB sinθ ds k的负值。
如图，ds可以表示为 Rdθ 并替代ds. 因此， 力F2 可以通过这个积分得到，θ从0到π。
通过这个例子，我们得到两个重要的普适结论。
第一，在匀强磁场中，弯曲载流导线所受的力与其始点和终点相同的载流直导线所受的磁场力相同；
第二，F1和F2的矢量和为零。这也是一个普适的结论：任意平面闭合线圈在均匀磁场中受到的合力为零。
请看这幅图。当一个通有电流I的矩形线圈放置在匀强磁场B中，磁场B平行于线圈平面。情况会怎样？
显然，导线1和导线3没有受到磁场力，因为磁场与之平行。而导线2和导线4受到的磁场力大小等于IaB.
我们用右手定则来确定一下方向。F2垂直向外而F4垂直向里。
假如我们的视线此从导线3沿着导线2和导线4看过去，F2和F4的方向如图所示。
显然，线圈受到的合力为零。
即使线圈受到的合力为零，但由于F2和F4的作用线不在同一条直线上，因此，力矩不为零。那么在此力矩的作用下，线圈绕点O转动。
根据力矩的定义，力矩τ的大小等于F2乘以二分之b加上F4乘以二分之b。
用IaB代换F2和F4, 求解得到力矩等于IabB. 其中，二分之b为对O的力臂。
由于ab等于矩形线圈的面积A，我们可以用此式表示力矩：τmax等于IAB.
这个表达式仅适用于磁场平行于线圈平面，此时所受力矩为最大值
如图所示，从导线3看过去，在力矩作用下，线圈顺时针转动。如果电流反向，力也有会反向，转动变为逆时针方向。
现在我们来看更为普遍的情况。请看这幅图，线圈平面法向A与匀强磁场B有一个夹角θ。
在这种情况下，导线1和导线3受到的磁场力相互抵消，且作用于同一直线上，因此，力矩也为零。
我们看到F2相对于O点的力臂等于(b/2) sinθ. 同样，F4相对于O点的力臂也等于 (b/2) sinθ。
因为 F2 =F4 = IaB, 相对于O点的合力矩大小等于 IAB sinθ.
这个结果表明当磁场与线圈平面法向垂直，力矩τ达到最大值，等于IAB。反之，如果磁场与线圈平面法向平行，则力矩τ为零。
我们可以将此式重新写成两个矢量的叉乘，来表示匀强磁场B中的线圈所受到的力矩。
τ等于IA叉乘B。这里A为面积矢量，方向为线圈平面的法向，大小为线圈平面的面积大小。
我们可以用右手定则来确定A矢量的方向。如图，当你的右手四指沿着线圈电流方向弯曲，大拇指的指向即为A 的方向。
请看这幅图, 线圈在力矩作用下转动，面积矢量A趋于与磁场方向同向。
这里，我们将IA定义为线圈的磁偶极矩矢量，用μ来表示.
磁偶极矩的国际单位式安培-米的平方。如果有N匝相同面积的线圈，则磁偶极矩等于N乘以IA。
μ 的方向与矢量A的方向一致，由右手定则确定。
利用μ的表达式，作用于载流线圈的力矩τ可以写成此式：τ等于μ叉乘B。
这个方程式可类比于电场中电偶极矩受到力矩τ的表达式：τ等于p叉乘E，这里p为电偶极矩。
请回顾电偶极子-电场系统的电势能U等于负p点乘E的负值. U 取决于电偶极子在电场中的取向。
类比于电场情形，磁场中，磁偶极矩的势能表达式有相似的数学形式：Ub等于μ 点乘 B的负值.
这个表达式说明，当磁矩与磁场同向时，系统具有最低能量负的μB；
而当磁矩与磁场反向，系统具有最高能量μB，此时系统处于不稳定的状态。
通过以上讨论，我们可以理解，在力矩作用下，载流线圈在磁场中转动；这个效应可以应用于电动机。
电能传输给电动机，转动的线圈可以对外部器械做功。
下一讲，我们将讨论一个新的问题——磁场之源。
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