当前课程知识点：University Physics - Electricity and Magnetism > Chapter I Electric Fields > Lecture 9 Application of Gauss’s Law > Lecture 9 Application of Gauss’s Law
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当电荷分布具有高度对称性，我们可以用高斯定理来求解电场。
在选择高斯面时，我们利用电荷分布的对称性，使电场强度的大小E可以提到积分号外。
请看这幅图。这是一个均匀带电球，半径为a, 体电荷密度为ρ，总带电量为Q。我们来求电场分布。
首先，我们分析电场对称性确定是否可以应用高斯定理求解电场。
既然电荷均匀分布于整个球体，电荷分布具有球对称性。
因此电场也具有球对称性。这就意味着，在与该球体的同心球面上，电场大小处处相等，方向沿径向矢量方向。
因此，最合适的高斯面应该是该带电球体的同心球面。
球体将空间分为两个部分。因此我们需要计算球内和球外两个区域的电场。当场点处于球体外部，此时高斯面的半径r大于球体半径a。
高斯面上各点的电场与面元矢量平行，E点乘dA简化为EdA。由对称性，球面上各点的场强大小相等，所以可以将E移到积分号外。
我们求解E，得到该式，与点电荷的电场表达式相同。
即均匀带电球体外部的电场与位于球心带相同电荷的点电荷的电场相等。
当场点处于球体内部，此时高斯面的半径r小于球体半径a。
我们需要确定高斯面内的净电荷qin. qin等于电荷体密度ρ乘以ΔV，ΔV 为高斯面包围区域的体积。
应用高斯定理，我们求解E. 由这个结果，我们可以看出球内电场与球外电场不同。当r趋于0，E趋于0.
这是均匀带电绝缘球体的电场随r的分布曲线。球体内的电场随着r的增加而线性增加。
而球体外的电场与位于球心的点电荷Q产生的电场一样。
并且，我们发现无论从球内还球外趋于球面处，电场强度是相同的，说明电场是连续分布的。
我们来看第二个例子。这是无限长均匀带电细棒，求距离细棒r处的电场。我们首先分析对称性。
因为电荷沿细棒均匀分布，且是无限长的细棒，电荷分布具有轴对称性，因此我们可以应用高斯定理求解电场。
我们来看一下电场的大小。带电线无限长，与带电直线垂直距离相等的点具有大小相等的场强，与场点沿带电线的竖直位置无关。
那么电场强度的方向呢？假设带电线为正电荷，场强方向沿径向矢量的方向向外，即垂直于带电细棒。
在这种情形下，什么样的闭合曲面是合适的高斯面呢？既然电场具有轴对称性，我们就以细棒为轴，做一个高为l, 半径为r的同轴闭合圆柱面作为高斯面。
从端视图可以清楚地看到侧面上各点的场强大小处处相等，且垂直于侧面。
电场平行于柱面的两个底面，因此，通过底面的通量等于零。
应用高斯定理，我们得到这个表达式。高斯面所围的净电荷等于λl。代入高斯面侧面的面积2πrl, 求解电场强度大小。
这个结果表明轴对称电荷分布产生的电场与距离r的一次方成反比。
我们再看一个例子。这是一个无限大均匀带正电平面。面电荷密度为σ，求电场分布。
在这个例子中，电荷均匀分布于无限大平面，电荷分布具有对称性。
因此可以应用高斯定理来求解电场。因为带电平面无限大，与带电平面垂直距离相等的点的电场大小相等。
由对称性，电场一定垂直于平面各点。由于平面带正电，电场方向朝外。带电平面两侧的电场方向相反。
如图所示，我们做一个圆柱面作为高斯面，该圆柱面的轴与带电平面垂直，底面面积为A。两个底面到平面的距离相等。
我们注意到，由于电场平行于侧面，所以穿过侧面的通量等于零。
电场与底面的法向矢量方向平行，所以穿过一个底面的通量等于E乘以A. 穿过整个高斯面的净通量就等于穿过两个底面的通量之和。
应用高斯定理，考虑到高斯面所围的净电荷等于σA，我们得到这个表达式。
我们求解E。我们发现场强与场点到平面的距离r无关，说明电场处处相等，是匀强电场。
上述几个例子讨论了如何应用高斯定理来求解对称电场。
结束该讲之前，有一个问题让大家思考。是不是高斯定理仅仅适用于对称电场呢？好，下一讲见。
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