当前课程知识点：矩阵论及其应用 > 第一单元 预备知识 > 1.1 特征值与特征向量的定义与求法 > 1.1 特征值与特征向量的定义和求法
各位同学 大家好
欢迎来到矩阵论及其应用的在线课程
我叫崔丽鸿
给大家讲的内容是
第一单元:矩阵的特征值与相似对角化
主要包含如下6讲
从教学内容上而言
这一单元是后续单元的基础
从教学目标上而言
主要是温故而知新的目地
温故是由于
这部分内容 同学们在线性代数中
已经接触学过
知新是由于
在矩阵论课程的教材中
讨论的矩阵并非局限在实数范围
而是在更一般的复数范围上进行展开
因此
在接下来的学习中
同学们常常会碰到如下记号
C表示复数域
Cn表示分量属于复数域的全体
n维向量组成的集合
Cm乘n表示
元素属于复数域的全体m乘n矩阵组成的集合
例如
2+3i属于C
向量X是一个3维的复向量
矩阵A是一个3阶的复矩阵
其中i是虚数单位
它的平方等于-1
另外
还请大家注意一个记号
矩阵的右上角标记大写英文字母H
它表示这个矩阵的共轭转置矩阵
例如
对于矩阵A
把它的每个元素先取共轭之后
得到它的共轭矩阵
然后再对共轭矩阵进行转置
就得到了A的共轭转置矩阵
进一步
结合矩阵的运算
我们不难得到共轭转置矩阵的性质
这里只罗列出来
感兴趣的同学可以自己尝试一下证明
有了这些准备
现在我们开始学习第一讲
特征值与特征向量的定义和求法
首先
先看定义
设A属于C^n*n
如果存在λ属于C
和非零列向量X属于C^n
使得关系式AX=λX成立
则称λ是A的特征值
X为A的属于特征值λ的特征向量
例如
对矩阵A
因为这个等式成立
因而
lmda等于2
是这个矩阵的一个特征值
向量X是相对应的特征向量
那么对于一个已知的矩阵
我们采用什么方法
能够计算出它的特征值与特征向量呢
现在我们来看看
把定义式当中的关系式改写
会得到什么
经过移项改写
我们发现
这是一个以lmda i减A为系数矩阵
以X为未知量的齐次线性方程组
因此从解的角度来看
特征向量X就是这个方程组的非零解
而一个含有n个未知量
n个方程的齐次线性方程组
有非零解的充要条件
是它的系数行列式等于零
由行列式的定义可知
λI-A的行列式
是关于λ的首一n次多项式
首一指的是最高次项λ^n的系数为1
通常
对矩阵A
我们称lmda i减A为A的特征矩阵
lmda I减A的行列式
为A的特征多项式
lmda i减A的行列式等于零
称为A的特征方程
于是我们得到
1.特征方程是以λ为未知数的一元n次方程
2.A的特征值就是特征方程的根
3.由于一元n次方程在复数范围内恒有解
其个数为方程的次数
重根按重数计算
因此 n阶矩阵A有n个特征值
现在
我们就得到了计算n阶方阵A的
特征值与特征向量的步骤
Step1
计算特征多项式|λI-A|的行列式
Step2
求出特征方程|λI-A|的行列式等于0的n个根
λ1 λ2.....λn
它们即为A的全部特征值
Step3
对每个特征值λj 求解齐次线性方程组
λjI-A为系数矩阵
X为未知量的其次线性方程组
它的非零解
即为A的对应于特征值λj的全部特征向量
-1.1 特征值与特征向量的定义与求法
-1.2 特征值与特征向量计算举例
-1.3 特征值与特征向量的性质
-1.4 相似矩阵的定义及性质
-1.5 可对角化的条件
-1.6 可对角化的计算举例
-第1单元作业（共15个单选题）
--第1单元作业（共15个单选题）
-2.1 Jordan标准形的定义及方法1
-2.2 求Jordan标准型的方法2—初等变换法
-2.3 求Jordan标准型的方法3—行列式因子法
-2.4 相似变换矩阵的计算
-2.5 应用案例一、Jordan标准型的应用举例
-第2单元作业（共15个单选题）
--第2单元作业（共15个单选题）
-3.1 Hamilton-Cayley定理
-3.2 最小多项式
-第3单元作业（共10个单选题）
--第3单元作业（共10个单选题）
-4.1 酉矩阵的定义及性质
-4.2 Schur分解定理
-第4单元作业（共10个单选题）
--第4单元作业（共10个单选题）
-5.1 矩阵的LU分解
-5.2 初等反射与初等旋转矩阵
-5.3 矩阵的QR分解
-5.4 矩阵的奇异值分解
-5.5 矩阵的满秩分解
-5.6 应用案例二、QR算法与最小二乘问题
-第5单元作业（共15个单选题）
--第5单元作业（共15个单选题）
-6.1 广义逆矩阵与线性方程组
-6.2 Moore-Penrose逆A+及其应用
-第6单元作业（共10个单选题）
--第6单元作业（共10个单选题）
-7.1 向量范数
--7.1 向量范数
-7.2 方阵范数
--7.2 方阵范数
-7.3 范数的应用 1-数值分析
-7.4 范数的应用 2
-第7单元作业(共15个单选题)
--第7单元作业
-8.1 矩阵序列
--8.1矩阵序列
-8.2 矩阵函数计算 1
-8.3 矩阵函数计算 2
-8.4 矩阵函数计算 3
-8.5 矩阵的微分和积分
-8.6 矩阵函数的应用一阶常系数线性微分方程组的初值问题
--8.6 矩阵函数的应用一阶常系数线性微分方程组的初值问题
-第8 单元作业(共15个单选题)
--第8 单元作业(共15个单选题)
-9.1 特征值的界的估计
-9.2 特征值的包含区域
-9.3 特征值的分离
-第9单元作业(共15个单选题)
--第9单元作业(共15个单选题)
