当前课程知识点：矩阵论及其应用 > 第五单元 矩阵分解 > 5.1 矩阵的LU分解 > 5.1 矩阵的LU分解
今天我们来学习矩阵的分解
这接的内容有 LU分解
QR分解
奇异值分解
以及具体的应用
先来看LU分解
假设n阶A可以分解为L乘以U
如果L为主对角线上
都是1的下三角矩阵
这时我们也称L为单位下三角矩阵
u是上三角矩阵
称这样的分解为A的Doolittle分解
如果L是下三角矩阵
U是单位上三角矩阵
称这样的分解为A的cROUT分解
这两种分解都统称为A的三角分解
或者说LU分解
注意并不是任意矩阵都有三角分解
比如这样的可逆矩阵A就没有
另外即使矩阵有三角分解
也未必是唯一的
比如这里有两个都符合的三角分解
为了规范A的分解
我们关心的是
有唯一分解方式的矩阵
为此有如下的定理
假设A是满秩矩阵
那么A有唯一的Doolittle分解
或Crout分解
当且仅当A的各阶顺序主子式都不为0
这里就不证明了
下面看看如果可以分解的话
如何快速计算出来
下面我们都假设A有唯一的三角分解
先看Doolittle分解
令A=LU
按照矩阵相乘
列等式
解方程就可以按部就班的算出L和U了
实际过程中为了减少重复计算
可以先求U 的第一行
然后L 的第一列
再求U 的第二行
L的第二列
依此类推
这样可以保证没有重复步骤
同样的方式看Crout分解
实际过程中也是为了减少重复计算
与Doolittle分解的过程相反
先求L 的第一列
然后U 的第一行
再求L的第二列
U 的第二行
依此类推
这样也可以保证没有重复步骤
最后给个注记
用初等变换也可以将矩阵A
变为上三角或下三角矩阵
所以也可以借助初等变换的方式
得到矩阵的三角分解
后面我们会有具体的例子
因为hermite正定矩阵
满足各阶顺序主子式非零
所以Hermite矩阵有唯一的三角分解
但是我们有更精确的结果
看下面的定理
设A是Hermite正定矩阵
则存在下三角矩阵G
使得A=GG^H
称之为A的Cholesky分解
需要提醒大家注意
一般情况下G不是唯一的
但是如果要求G的主对角线上的元素都是正的
那么G就唯一了
下面看看怎么推导
已知A可以分解为单位下三角矩阵L
和上三角U1
因为行列不为零
所以可以将U1的对角线上的元素
全部取出来做成对角矩阵D
那么剩下的就是单位上三角矩阵U
又因为A是Hermite的
在分解A=LDU两边同时取共轭转置
移项后有这样的等式
左边是单位下三角
右边是上三角
所以只能都是单位矩阵
这样A就能分解为LDL^H
又因为A是正定的
所以D的元素都是正数
通过开根号分成两部分
就有A=GG^H了
这就完成了A的分解
具体计算Cholesky分解时
按照计算G的第一列
第二列的顺序可以保证没有重复步骤
也能体会分解不唯一的原因
最后我们来看看Lu分解
在线性方程组过程中的应用
考虑方程组Ax=b
将系数矩阵A分解为LU
那么原方程组等价为
两个以三角矩阵为系数的方程组
ly=b,ux=y
先解出y
带入后再解出x
接下来通过一个具体的例子
用初等变换的方式求出三角分解
再求解方程组
假设矩阵A 是这样的三角矩阵
常数项B是这样的
用消元法求三角分解时
要么只用行变换要么只用列变换
中间不能交替使用
这里我们用行变换
将A化为上三角矩阵U
依次按第一列
第二列消元
行变换对应的初等矩阵
依次为E1 E2 E3
那么取L为E3E2E1的逆
有个分解之后
先解以下三角矩阵为系数的方程组
得y1,2,3为2 4 6
再取以上三角矩阵为系数的方程组
常数项是y1,2,3
这样解出x1,2,3是 -1 1 2
也就是原方程组的解
从上面
消元法也可以得到矩阵的LU分解
不过需要计算逆矩阵
还有一个问题
为什么不在消元的过程中
直接解方程组呢
为什么要先进行LU分解
再解两个三角方程组呢
原因是
在实际工作中会出现这样的情况
Ax=b中系数矩阵A是不变的
但是b经常会有变化
这时将A进行LU分解
b发生变化时
只需要解两个三角方程组就可以了
而不必要每次都要重新进行消元法
这样可以节省计算量 提高效率
-1.1 特征值与特征向量的定义与求法
-1.2 特征值与特征向量计算举例
-1.3 特征值与特征向量的性质
-1.4 相似矩阵的定义及性质
-1.5 可对角化的条件
-1.6 可对角化的计算举例
-第1单元作业（共15个单选题）
--第1单元作业（共15个单选题）
-2.1 Jordan标准形的定义及方法1
-2.2 求Jordan标准型的方法2—初等变换法
-2.3 求Jordan标准型的方法3—行列式因子法
-2.4 相似变换矩阵的计算
-2.5 应用案例一、Jordan标准型的应用举例
-第2单元作业（共15个单选题）
--第2单元作业（共15个单选题）
-3.1 Hamilton-Cayley定理
-3.2 最小多项式
-第3单元作业（共10个单选题）
--第3单元作业（共10个单选题）
-4.1 酉矩阵的定义及性质
-4.2 Schur分解定理
-第4单元作业（共10个单选题）
--第4单元作业（共10个单选题）
-5.1 矩阵的LU分解
-5.2 初等反射与初等旋转矩阵
-5.3 矩阵的QR分解
-5.4 矩阵的奇异值分解
-5.5 矩阵的满秩分解
-5.6 应用案例二、QR算法与最小二乘问题
-第5单元作业（共15个单选题）
--第5单元作业（共15个单选题）
-6.1 广义逆矩阵与线性方程组
-6.2 Moore-Penrose逆A+及其应用
-第6单元作业（共10个单选题）
--第6单元作业（共10个单选题）
-7.1 向量范数
--7.1 向量范数
-7.2 方阵范数
--7.2 方阵范数
-7.3 范数的应用 1-数值分析
-7.4 范数的应用 2
-第7单元作业(共15个单选题)
--第7单元作业
-8.1 矩阵序列
--8.1矩阵序列
-8.2 矩阵函数计算 1
-8.3 矩阵函数计算 2
-8.4 矩阵函数计算 3
-8.5 矩阵的微分和积分
-8.6 矩阵函数的应用一阶常系数线性微分方程组的初值问题
--8.6 矩阵函数的应用一阶常系数线性微分方程组的初值问题
-第8 单元作业(共15个单选题)
--第8 单元作业(共15个单选题)
-9.1 特征值的界的估计
-9.2 特征值的包含区域
-9.3 特征值的分离
-第9单元作业(共15个单选题)
--第9单元作业(共15个单选题)
