当前课程知识点：矩阵论及其应用 > 第二单元 矩阵的Jordan标准形 > 2.5 应用案例一、Jordan标准型的应用举例 > 2.5 应用案例一、Jordan标准型的应用举例
这一讲我们来介绍盖尔圆定理估算特征值
对于给定的矩阵
其特征值的计算呢
就是解方程
但是因为五次及五次以上方程没有公示解
所以高阶矩阵的特征值的精确性
一般是做不到的
但在实际中
很多情况只需要确定特征值的界就可以了
如何通过给定的矩阵确定特征值的界呢
我们介绍这样的定义
对于N阶矩阵A定义cia
就是与aii距离不超过ri点的集合
Ri是di行中
除去aii后剩下元素的模长的和
称Gi为A的di个盖尔圆
ri为盖尔圆的半径那么a有n个盖尔圆
看个例子
G1是平面中所有与1的距离
不超过2的点的集合
同样有G2和G3
而且我们可以在图中画出他们的圆出来
我们的第一个定理是说
A的所有特征值一定都落在n个盖尔圆中
证明也不难任取一个特征值λ
对应的特征向量记为α
因为α是非零的
那么考虑α的分量中
模长最大的一个极为SK
两边展开Aα等于λα
移项后将xk除到另一边
用一次不等式就可以完成证明了
同样的道理
可以对矩阵的列定义盖尔圆
或者对A的转置用盖尔圆定理
这样我们就会得到
A的N个关于列的盖尔圆
我们来看个例子
要求估算A的特征值
先写出三个行盖尔圆
在图中用绿色的表示
那么特征值在它们的并集之中
我们在考虑A的转置的三个盖尔圆
画图上用红色的虚线表示
注意一般如果不是对称矩阵的话
行和列的盖尔圆还是有差别的
我们再看个例子
如果A满足严格对角占优条件
也就是aii的模长
比这一行对应的盖尔圆半径大
那么行列是A一定不等于零
因为行列式A等于所有特征值的乘积
所以只要说明所有的特征值
都不为零就可以
我们任取一个特征值有盖尔圆定理知道
一定落在某个圆内
也就是会有这样的不等式
如果令λ等于零
就会得到一个与条件矛盾的关系
那说明呢
特征值都不可能为0需要注意的是
盖尔圆定理只能说明某个特征值
落在某一个圆盘类
但相交时并不知道具体落在哪个圆盘中
为此我们先介绍一个概念
当矩阵A的盖尔圆有相交时
把所有相交的盖尔元成为一个连通区域
也就是和其他的圆不会再相交了
这样的话
A的盖尔圆就会分成一些
不相交的区域的并
为了解决具体的分布问题
我们引入了盖尔源精细化定理
是说如果有K个盖尔圆构成了连通区域
那么其中一定有K个特征值
重根计算重数
再回到前面的例子
G1是一个单的连通区域
所以中有一个特征值G二G三相交
构成了另外一个连通分支
它们中间有两个特征值
但是具体怎么分布了就不清楚了
看看具体二姐举的那个例子
这里我们很容易计算出特征值
分别为五加根号15i
和五减根号15i
画图后发现这一对根在大圆中
有精细化定理
很容易得出下面的推论
如果A的N个盖尔圆不相交
那么特征值都不相同
A一定可以对角化
第二个是说
如果A是实矩阵
并且N个盖尔圆互不相交
那么A的特征值都是实数
原因是实数的话
说明圆心都在实轴上互不相交
说明它们没有复数根
因为复数根都是成对出现的
接下来我们来介绍了分离定理
盖尔圆的精细化定理只能描述
连通分支整体的特征值的情况
如果能让某个连通分支分离开来
那么它任职的分布就更精确了
我们主要从以下两个方面考虑
首先利用列盖尔圆
因为A跟A的转置有相同的特征值
而且有相同的圆心
那么A的所有特征值
就是娶同心圆中半径较小的合并起来
这就是我们的结论1
来看一个四阶矩阵的例子
我们要先去计算四个行盖尔圆和列盖尔圆
在图中把它们表示出来
行用绿色的表示
列用红色的虚线表示
综合比较取半径较小的圆
那么可以看得出来A的四个特征值
会位于四个不连通的分支
G一G二G三一撇G四一撇中
这样就将特征值分开了
第二个方法是利用相似性分离特征值
取对角矩阵地要求它的分量di是整数
计算A的相似矩阵
那么D-1AD的圆心和A是一样的
差别是半径不同
因为相似矩阵有相同的特征值
而且盖尔圆都是同心圆
第二个结论是说
A所有的特征值也包含在
相似矩阵B的N个盖尔圆中
但是可以选择不同的di调整半径
将盖尔圆分离开来
di的选择原则是
如果要使di个圆盘变小
取di大于一
其他的分量都取1
反过来
如果要使di个圆盘变大
可以取di小于1
其他的分量都是1
但是注意并不是所有不同特征值的矩阵
都可以用上面的方法
隔离特征值
比方说主对角线上有相同元素的矩阵
因为它们是同心圆
怎么也不可能分离开来
下面我们来看个例子
要求分离矩阵A的特征值
并且说明A的特征值都是实数
先计算三个行盖尔圆G1G2G3
会发现G2和G3相交
如果要它们分开的话
应该适当的放大G1
那么G二G三呢就会相对的变小
然后就分开了
我们尝试取对角矩阵D
第一个分量取三分之一其他都是1
计算D-1AD写出B的3个盖尔圆
画图表示出来
从图中能看出
原来标记绿色时是有相交的
现在标记红色就分开了
所以特征值落在G1G2帽G3帽中
，因为圆心都在实轴上的
所以全是实数
有的时候结合两种方法
我们还能够再缩小特征值的范围
最后再来看个例子
要你用盖尔圆定理分离特征值
前面我们已经分析了A的三个行盖尔圆
三个列盖尔圆都是没有办法分开的
那么适当的放大G1取d的第一个分量
为二分之一其他都是一
计算D-1AD写出三个行盖尔圆
在图中表示出来
由于B的特征值已经分开了
再结合三组同心盖尔圆
取半径最小的综合比较得知
A的特征值在G1G2帽G3一撇中
-1.1 特征值与特征向量的定义与求法
-1.2 特征值与特征向量计算举例
-1.3 特征值与特征向量的性质
-1.4 相似矩阵的定义及性质
-1.5 可对角化的条件
-1.6 可对角化的计算举例
-第1单元作业（共15个单选题）
--第1单元作业（共15个单选题）
-2.1 Jordan标准形的定义及方法1
-2.2 求Jordan标准型的方法2—初等变换法
-2.3 求Jordan标准型的方法3—行列式因子法
-2.4 相似变换矩阵的计算
-2.5 应用案例一、Jordan标准型的应用举例
-第2单元作业（共15个单选题）
--第2单元作业（共15个单选题）
-3.1 Hamilton-Cayley定理
-3.2 最小多项式
-第3单元作业（共10个单选题）
--第3单元作业（共10个单选题）
-4.1 酉矩阵的定义及性质
-4.2 Schur分解定理
-第4单元作业（共10个单选题）
--第4单元作业（共10个单选题）
-5.1 矩阵的LU分解
-5.2 初等反射与初等旋转矩阵
-5.3 矩阵的QR分解
-5.4 矩阵的奇异值分解
-5.5 矩阵的满秩分解
-5.6 应用案例二、QR算法与最小二乘问题
-第5单元作业（共15个单选题）
--第5单元作业（共15个单选题）
-6.1 广义逆矩阵与线性方程组
-6.2 Moore-Penrose逆A+及其应用
-第6单元作业（共10个单选题）
--第6单元作业（共10个单选题）
-7.1 向量范数
--7.1 向量范数
-7.2 方阵范数
--7.2 方阵范数
-7.3 范数的应用 1-数值分析
-7.4 范数的应用 2
-第7单元作业(共15个单选题)
--第7单元作业
-8.1 矩阵序列
--8.1矩阵序列
-8.2 矩阵函数计算 1
-8.3 矩阵函数计算 2
-8.4 矩阵函数计算 3
-8.5 矩阵的微分和积分
-8.6 矩阵函数的应用一阶常系数线性微分方程组的初值问题
--8.6 矩阵函数的应用一阶常系数线性微分方程组的初值问题
-第8 单元作业(共15个单选题)
--第8 单元作业(共15个单选题)
-9.1 特征值的界的估计
-9.2 特征值的包含区域
-9.3 特征值的分离
-第9单元作业(共15个单选题)
--第9单元作业(共15个单选题)
