当前课程知识点：矩阵论及其应用 > 第三单元 最小多项式 > 3.1 Hamilton-Cayley定理 > 3.1Hamilton-Cayley定理
今天我们来学习第三单元
这个单元主要介绍Ham-c定理和最小多项式
先来看Hamilton-Cayley定理
任给一个多项式f(λ)
A是n阶方阵
将多项式中λ替换成矩阵A
因为A的幂次和带上系数的数乘是有意义的
这样得到的f(A)称为A的矩阵多项式
它是和A同型的矩阵
需要注意常数项a0要变为a0I
同样
我们以前讲的λ矩阵
都可以写成系数为常数矩阵的λ多项式
比如说这个例子
这一节的主要结论是下面的定理
假设A是n阶方阵
phi(λ)是特征多项式
那么A带入后一定是0矩阵
也就是说A是其矩阵多项式的一个零点或者根
证明主要计算矩阵相乘
假设lamda1,lamda2 到 lamda n是A所有特征值
则特征多项有如下的分解式
我们知道对于A存在可逆矩阵P
使得P-1AP是Jordan标准型
主对角线上是特征值
次对角线上要么是0
要么是1
将A带入后
再用Jordan标准型展开
化简后得到这样的等式
下面计算 J-\lamda1 I
J-\lamda2 I
一直乘到J-\lamdan I
直接按矩阵相乘后发现
乘积一次多出一列0
最后恰好等于0矩阵
用H-C定理也可以计算方阵的高次幂
还用之前的例子
要是去计算^100次幂
可以看成多项式f(λ)
等于λ100次幂的矩阵多项式
容易求出A的3次的特征多项式
用多项式的带余除法
余式最多是2次的
用待定其系数的方式可以把余式设出来
aλ²+bλ+c
在等式中将把A代入
左边是我们的目标A的100次幂
因为Hamilton-Cayley定理phi(A)=0
那么问题转化为最多计算A的2次幂
关键要求出3个系数
这里用3个根分别带入联立方程组即可
注意因为1是重根
所以第3个等式需要求导后带入1
目的是关于\phi(λ)的项都是0
也就是参与运算时不起作用
这样解出abc
最后带入求出的数值
化简后计算出A的100次幂
如果要求
关于矩阵A的其他矩阵多项式
也可以用这样的待定系数法
只要找好相应的多项式即可
-1.1 特征值与特征向量的定义与求法
-1.2 特征值与特征向量计算举例
-1.3 特征值与特征向量的性质
-1.4 相似矩阵的定义及性质
-1.5 可对角化的条件
-1.6 可对角化的计算举例
-第1单元作业（共15个单选题）
--第1单元作业（共15个单选题）
-2.1 Jordan标准形的定义及方法1
-2.2 求Jordan标准型的方法2—初等变换法
-2.3 求Jordan标准型的方法3—行列式因子法
-2.4 相似变换矩阵的计算
-2.5 应用案例一、Jordan标准型的应用举例
-第2单元作业（共15个单选题）
--第2单元作业（共15个单选题）
-3.1 Hamilton-Cayley定理
-3.2 最小多项式
-第3单元作业（共10个单选题）
--第3单元作业（共10个单选题）
-4.1 酉矩阵的定义及性质
-4.2 Schur分解定理
-第4单元作业（共10个单选题）
--第4单元作业（共10个单选题）
-5.1 矩阵的LU分解
-5.2 初等反射与初等旋转矩阵
-5.3 矩阵的QR分解
-5.4 矩阵的奇异值分解
-5.5 矩阵的满秩分解
-5.6 应用案例二、QR算法与最小二乘问题
-第5单元作业（共15个单选题）
--第5单元作业（共15个单选题）
-6.1 广义逆矩阵与线性方程组
-6.2 Moore-Penrose逆A+及其应用
-第6单元作业（共10个单选题）
--第6单元作业（共10个单选题）
-7.1 向量范数
--7.1 向量范数
-7.2 方阵范数
--7.2 方阵范数
-7.3 范数的应用 1-数值分析
-7.4 范数的应用 2
-第7单元作业(共15个单选题)
--第7单元作业
-8.1 矩阵序列
--8.1矩阵序列
-8.2 矩阵函数计算 1
-8.3 矩阵函数计算 2
-8.4 矩阵函数计算 3
-8.5 矩阵的微分和积分
-8.6 矩阵函数的应用一阶常系数线性微分方程组的初值问题
--8.6 矩阵函数的应用一阶常系数线性微分方程组的初值问题
-第8 单元作业(共15个单选题)
--第8 单元作业(共15个单选题)
-9.1 特征值的界的估计
-9.2 特征值的包含区域
-9.3 特征值的分离
-第9单元作业(共15个单选题)
--第9单元作业(共15个单选题)
