当前课程知识点：矩阵论及其应用 > 第四单元 酉相似下的标准型 > 4.1 酉矩阵的定义及性质 > 4.1 酉矩阵的定义及性质
这个单元我们主要来学习Shur分解定理
内容分为酉矩阵的定义和Schur分解定理
先来看酉矩阵
这个是线性代数中正交矩阵的推广
但是以前的一些定义需要修改
比如说向量x,y的内积
线性代数中的内积是对应分量相乘
这里修改为x的分量与共轭后的y分量相乘
用矩阵表示也可以写为y的共轭转置乘以x
这样定义的目的也是为了后面定义长度
需要大家记住矩阵相乘的方式更方便推导
看个例子
x是这样的 y是这样的一个向量
计算后发现（x,y）与(y,x)内积是不一样的
这也是和线性代数中有区别的地方
我们把相关性质总结为下面几条
第一条
交换顺序后它们之间差个共轭
第二条
分量有倍数可以提出来
注意提取后面的要加共轭
第三条说分量是的和可以拆开
第四条体现了修改定义的必要性
任意向量自己做内积都非负
只有零向量内积是0
最后一条是C-S不等式
具体我们就不展开了
需要时再引用
因为自己做内积是非负的
所以开根号是有意义的
那么用它们定义向量的长度
为了和后面章节内容统一
我们也称长度为2-范数
也就是分量模长的平方和开根号
容易验证长度满足下面的非负性
齐次性和三角不等式的性质
如果向量的长度是1
称为单位向量
而任意非零向量
除以其模长都可以变为单位向量
称为向量的单位化
两个n维向量如果内积为零
称他们是垂直或正交
记为x⊥y
为了简化内容
我们省略了向量夹角的定义
其实正交时夹角恰好为90度
两两正交的非零向量称为正交向量组
用线性无关的定义和正交性
很容易证明正交向量组一定线性无关
就是下面的定理
我们关心的是反过来对不对
或者说
线性无关的向量组能不能变成
两两正交的向量组呢
确实可以
这就是Schmidt正交化的方法
按照这个算法可以将线性无关的向量
化成两两正交的向量组
而且和原向量组等价
这个公式和线性代数中的没有差别
只要计算内积时小心点
另外
当向量个数较小时
也可以用几何的方式直观的体现正交化的过程
我们这里就省略了
这个例子要求将向量正交化
直接应用公式上去
过程中需要计算多个内积
细节我们就省略了
大家要在平时的练习中慢慢体会
称矩阵A是酉矩阵
如果满足A^HA=AA^H都是单位矩阵
如果是实矩阵数的话
这就是正交矩阵的定义
容易验证下面几个性质
假设A,B是同阶的酉矩阵
那么第一条说A的行列式的模长是1
这个在上面等式两边同时取行列式就能推出
第二条说酉矩阵的乘积还是酉矩阵
第3条说酉矩阵保持向量的长度
其实就是将向量旋转了
称为酉不变性
这个用长度的矩阵表达方式
结合酉矩阵很容易推出
最后一条是如何判断一个矩阵是酉矩阵
等价于判断它的行向量组
或者列向量组是不是两两正交的单位向量
这个我们推导一下
将矩阵A按列分块
计算A^HA
由分块矩阵的乘法和内积的定义
得到这样新的矩阵
其中每个元素都是用内积表达的
很容易判断A是酉矩阵
当且仅当自己跟自己做内积是为1
说明是单位向量
不同的内积为零说明正交
最后看个例子
判断A是不是酉矩阵
不是的话用列向量构造一个
显然第一列不是单位向量
那么用列向量构造酉矩阵
本质上是把列向量变成两两正交的单位向量
用Schimidt正交化算法先正交
然后再单位化
这样得到的就是酉矩阵
具体过程我们也就先省略了
-1.1 特征值与特征向量的定义与求法
-1.2 特征值与特征向量计算举例
-1.3 特征值与特征向量的性质
-1.4 相似矩阵的定义及性质
-1.5 可对角化的条件
-1.6 可对角化的计算举例
-第1单元作业（共15个单选题）
--第1单元作业（共15个单选题）
-2.1 Jordan标准形的定义及方法1
-2.2 求Jordan标准型的方法2—初等变换法
-2.3 求Jordan标准型的方法3—行列式因子法
-2.4 相似变换矩阵的计算
-2.5 应用案例一、Jordan标准型的应用举例
-第2单元作业（共15个单选题）
--第2单元作业（共15个单选题）
-3.1 Hamilton-Cayley定理
-3.2 最小多项式
-第3单元作业（共10个单选题）
--第3单元作业（共10个单选题）
-4.1 酉矩阵的定义及性质
-4.2 Schur分解定理
-第4单元作业（共10个单选题）
--第4单元作业（共10个单选题）
-5.1 矩阵的LU分解
-5.2 初等反射与初等旋转矩阵
-5.3 矩阵的QR分解
-5.4 矩阵的奇异值分解
-5.5 矩阵的满秩分解
-5.6 应用案例二、QR算法与最小二乘问题
-第5单元作业（共15个单选题）
--第5单元作业（共15个单选题）
-6.1 广义逆矩阵与线性方程组
-6.2 Moore-Penrose逆A+及其应用
-第6单元作业（共10个单选题）
--第6单元作业（共10个单选题）
-7.1 向量范数
--7.1 向量范数
-7.2 方阵范数
--7.2 方阵范数
-7.3 范数的应用 1-数值分析
-7.4 范数的应用 2
-第7单元作业(共15个单选题)
--第7单元作业
-8.1 矩阵序列
--8.1矩阵序列
-8.2 矩阵函数计算 1
-8.3 矩阵函数计算 2
-8.4 矩阵函数计算 3
-8.5 矩阵的微分和积分
-8.6 矩阵函数的应用一阶常系数线性微分方程组的初值问题
--8.6 矩阵函数的应用一阶常系数线性微分方程组的初值问题
-第8 单元作业(共15个单选题)
--第8 单元作业(共15个单选题)
-9.1 特征值的界的估计
-9.2 特征值的包含区域
-9.3 特征值的分离
-第9单元作业(共15个单选题)
--第9单元作业(共15个单选题)
