当前课程知识点:矩阵论及其应用 > 第六单元 广义逆矩阵 > 6.1 广义逆矩阵与线性方程组 > 6.1 广义逆矩阵与线性方程组
在这个单元中
我们将学习广义逆矩阵,
主要考察广义逆矩阵的应用
特别是加号逆和线性方程组的关系
先来看什么是广义逆
学过线性代数的人都知道
若线性方程组Ax=b的系数矩阵A可逆
那么方程组有唯一解A^{-1}b
解方程的过程就像做除法
非常方便
但是当A不可逆时就失效了
那么有没有一种方法
可以将上面解方程的想法推广到一般的矩阵呢
这就产生了广义逆矩阵
对矩阵A
如果存在矩阵方程
满足如下4个Penrose方程的几个或全部
则称x是一个A的广义逆矩阵
称满足4个方程的X为Moose-Penrose逆
或者简称MP逆
注意这4个方程的序号是固定的
后面我们直接称方程1
方程2
等等
显然
若A可逆
取x=a^{-1},自然满足4个方程
所以广义逆是逆矩阵的自然推广
首先需要解决的问题
一般情况下
x存在吗
下面的结论表明
同时满足4个方程的X存在且是唯一的
也就是说任意矩阵A的MP逆存在且唯一
存在性可以通过奇异值分解获得
假如A有奇异值分解
那么取X是这样的
带入验算后发现X满足4个方程
唯一性的验证就省略了
对于A
如果X满足的第 i,j,l个等方程
则称x是A的{i,j,一直到l}的逆
记为这样的
所有这样的逆记为A花括号 i,j,\cdots,l
特别地
A唯一的Mp逆记为A+
也称为A的加号逆
在我们的课程中
主要关心满足第一个方程的1逆和加号逆
前面讲满秩分解时
我们知道
将矩阵A通过初等行变换
和列的置换可以变为Ir,K00分块的形式
这里r是A的秩
那么取X为P 乘以分块矩阵 Ir 00L 再乘以S
可以直接验证 这样X满足第一个方程
所以它在1逆中
注意右下角矩阵L的阶数为 n-r * m-r
这个定理提供了构造1逆的方法
看个例子
要你去求A的1逆
先通过初等行变换将A化为行最简形式H
用的初等矩阵分别记为E1,E2,E3
那么可逆矩阵S=E3*E2*E1
另外还要交换H的第2列
第3列
S可以算出来
取置换矩阵P为这样的
其中e2,e3交换过位置
则SAP算出来是这样的
根据定理
可以取1逆 我们为P
I2 下面是L1 L2 L3 再乘以S
这里l1,l2,l3是任意的数
利用1逆可以判断线性方程组有没有解
结论是
AX=b有解当且仅当AA^(1)b=b
有解时
通解为A^1b+(In-A^1A)y
y是任意n维列向量
证明思路是这样的
如果AA^(1)b=b
显然A^(1)b满足方程就是解
反过来
若存在x0满足Ax0=b
则把b带入AA^(1)b
利用1逆的定义知AA^(1)b=b
这就完成了判断
现在假设Ax=b有解
很容易验证上面的式子满足方程
剩下的要说明任一个解
c0都可以表达成如上的形式
将c0写成
A^1b+c0-A^1b
把b=Ac0带入合并后就得到如上的形式
这就完成证明了
看个例子
判断以A为系数
常数项b=2 -2 1的方程组有没有解
前面已经求出可逆矩阵S
置换矩阵P
以及A^1
因为只要任意一个1逆即可
所以我们取
l1 l2 l3都是0
这样能简化运算
带入计算AA^1b
结果显然不等于b
所以原方程组无解
最后给个注记
这里直接计算时需要先算出S^-1
为了避免逆矩阵的计算
可以验算SAA^1b是不是等于S乘以b
-1.1 特征值与特征向量的定义与求法
-1.2 特征值与特征向量计算举例
-1.3 特征值与特征向量的性质
-1.4 相似矩阵的定义及性质
-1.5 可对角化的条件
-1.6 可对角化的计算举例
-第1单元作业(共15个单选题)
--第1单元作业(共15个单选题)
-2.1 Jordan标准形的定义及方法1
-2.2 求Jordan标准型的方法2—初等变换法
-2.3 求Jordan标准型的方法3—行列式因子法
-2.4 相似变换矩阵的计算
-2.5 应用案例一、Jordan标准型的应用举例
-第2单元作业(共15个单选题)
--第2单元作业(共15个单选题)
-3.1 Hamilton-Cayley定理
-3.2 最小多项式
-第3单元作业(共10个单选题)
--第3单元作业(共10个单选题)
-4.1 酉矩阵的定义及性质
-4.2 Schur分解定理
-第4单元作业(共10个单选题)
--第4单元作业(共10个单选题)
-5.1 矩阵的LU分解
-5.2 初等反射与初等旋转矩阵
-5.3 矩阵的QR分解
-5.4 矩阵的奇异值分解
-5.5 矩阵的满秩分解
-5.6 应用案例二、QR算法与最小二乘问题
-第5单元作业(共15个单选题)
--第5单元作业(共15个单选题)
-6.1 广义逆矩阵与线性方程组
-6.2 Moore-Penrose逆A+及其应用
-第6单元作业(共10个单选题)
--第6单元作业(共10个单选题)
-7.1 向量范数
--7.1 向量范数
-7.2 方阵范数
--7.2 方阵范数
-7.3 范数的应用 1-数值分析
-7.4 范数的应用 2
-第7单元作业(共15个单选题)
--第7单元作业
-8.1 矩阵序列
--8.1矩阵序列
-8.2 矩阵函数计算 1
-8.3 矩阵函数计算 2
-8.4 矩阵函数计算 3
-8.5 矩阵的微分和积分
-8.6 矩阵函数的应用一阶常系数线性微分方程组的初值问题
--8.6 矩阵函数的应用一阶常系数线性微分方程组的初值问题
-第8 单元作业(共15个单选题)
--第8 单元作业(共15个单选题)
-9.1 特征值的界的估计
-9.2 特征值的包含区域
-9.3 特征值的分离
-第9单元作业(共15个单选题)
--第9单元作业(共15个单选题)