6.1 广义逆矩阵与线性方程组在线视频

在这个单元中

我们将学习广义逆矩阵,

主要考察广义逆矩阵的应用

特别是加号逆和线性方程组的关系

先来看什么是广义逆

学过线性代数的人都知道

若线性方程组Ax=b的系数矩阵A可逆

那么方程组有唯一解A^{-1}b

解方程的过程就像做除法

非常方便

但是当A不可逆时就失效了

那么有没有一种方法

可以将上面解方程的想法推广到一般的矩阵呢

这就产生了广义逆矩阵

对矩阵A

如果存在矩阵方程

满足如下4个Penrose方程的几个或全部

则称x是一个A的广义逆矩阵

称满足4个方程的X为Moose-Penrose逆

或者简称MP逆

注意这4个方程的序号是固定的

后面我们直接称方程1

方程2

等等

显然

若A可逆

取x=a^{-1},自然满足4个方程

所以广义逆是逆矩阵的自然推广

首先需要解决的问题

一般情况下

x存在吗

下面的结论表明

同时满足4个方程的X存在且是唯一的

也就是说任意矩阵A的MP逆存在且唯一

存在性可以通过奇异值分解获得

假如A有奇异值分解

那么取X是这样的

带入验算后发现X满足4个方程

唯一性的验证就省略了

对于A

如果X满足的第 i,j,l个等方程

则称x是A的{i,j,一直到l}的逆

记为这样的

所有这样的逆记为A花括号 i,j,\cdots,l

特别地

A唯一的Mp逆记为A+

也称为A的加号逆

在我们的课程中

主要关心满足第一个方程的1逆和加号逆

前面讲满秩分解时

我们知道

将矩阵A通过初等行变换

和列的置换可以变为Ir,K00分块的形式

这里r是A的秩

那么取X为P 乘以分块矩阵 Ir 00L 再乘以S

可以直接验证 这样X满足第一个方程

所以它在1逆中

注意右下角矩阵L的阶数为 n-r * m-r

这个定理提供了构造1逆的方法

看个例子

要你去求A的1逆

先通过初等行变换将A化为行最简形式H

用的初等矩阵分别记为E1,E2,E3

那么可逆矩阵S=E3*E2*E1

另外还要交换H的第2列

第3列

S可以算出来

取置换矩阵P为这样的

其中e2,e3交换过位置

则SAP算出来是这样的

根据定理

可以取1逆 我们为P

I2 下面是L1 L2 L3 再乘以S

这里l1,l2,l3是任意的数

利用1逆可以判断线性方程组有没有解

结论是

AX=b有解当且仅当AA^(1)b=b

有解时

通解为A^1b+(In-A^1A)y

y是任意n维列向量

证明思路是这样的

如果AA^(1)b=b

显然A^(1)b满足方程就是解

反过来

若存在x0满足Ax0=b

则把b带入AA^(1)b

利用1逆的定义知AA^(1)b=b

这就完成了判断

现在假设Ax=b有解

很容易验证上面的式子满足方程

剩下的要说明任一个解

c0都可以表达成如上的形式

将c0写成

A^1b+c0-A^1b

把b=Ac0带入合并后就得到如上的形式

这就完成证明了

看个例子

判断以A为系数

常数项b=2 -2 1的方程组有没有解

前面已经求出可逆矩阵S

置换矩阵P

以及A^1

因为只要任意一个1逆即可

所以我们取

l1 l2 l3都是0

这样能简化运算

带入计算AA^1b

结果显然不等于b

所以原方程组无解

最后给个注记

这里直接计算时需要先算出S^-1

为了避免逆矩阵的计算

可以验算SAA^1b是不是等于S乘以b