当前课程知识点：矩阵论及其应用 > 第二单元 矩阵的Jordan标准形 > 2.4 相似变换矩阵的计算 > 2.4 相似变换矩阵的计算
这一讲我们来看相似变换矩阵的计算
对于矩阵A前面已经解决了
Jordan标准型的问题
下面看看是什么样的可逆矩阵P
使得A相似于Jordan标准型
先看一个简单的例子
假设P-1Ap等于J
J有两个Jordan块
我们将P分成三列P1P2P3
两边同时左乘P后得这个关系
按照矩阵分块的乘法展开后会得到
aP1等于λ1p1
ap2等于λ2p2
ap3等于λ2p3加上p2
移项后又得这样的关系
显然前面两个数字说明
P1是A的属于特征值λ1的特征向量
p2是A的属于特征值λ2的特征向量
这两个可以通过求解
齐次线性方程组获得
p3为非齐次线性方程组的解
我们称P三为A的属于特征值λ2的
广义特征向量
从这个例子可以看得出来
可逆矩阵P的计算
本质上就是计算它的特征向量
或者广义向量
实际上就是求解
其次或者非齐次线性方程组
那么多个Jordan块
类似的处理
下面我们通过两个例子
具体的说明计算过程
已知矩阵A是这样的
让你需可逆矩阵P使得P-1等于J
前面我们已经求出来
Jordan标准型J
按照上面的步骤
我们把P分成三列
P1p2p3展开后得到这样的式子
通过矩阵的乘法
我们会得到ap1等于2倍的p1
ap2等于的P2
apP三等于P3加P2
移项后得到右边的式子
这是我们熟悉的
P一P二是齐次线性方程组的解
那么将系数矩阵分别化成行最简形式
然后再回来弄方程组
可以分别解出p1是等于001的
p2可以取12负1
有了P2之后考虑以I减A为系数
常数项为负2的非齐次线方程组
将增广矩阵做初等行变换
找出他的一个特解即为p3
那么P一P二P三合并起来
就是我们的可逆矩阵p
从解的过程中可以看得出来
即使J确定之后
矩阵P也不是唯一的
另外取不同顺序的Jordan标准型
得出来的p也是有差别的
再来看第二个例子
已知矩阵A是这样的
还是求可逆矩阵P
前面我们已经求出了
Jordan标准型J
是111的
注意这个标准心中有两个快
而且对应的是一这个特征值
和以前的步骤一样
将P按列分块展开后按照矩阵相乘
那么我们会得到
Ap1等于p1
ap2等于p2
ap3等于p3加p2
移项后得到这样的式子
我们分别考虑了以I减A
为系数齐次线性方程组
行初等变换后取基数解系
那么这里呢
我们取的p1是负110
p2是301
有了p2之后
还是以I减A为系数
考虑常数项为负p2的非齐次线性方程组
写出增广矩阵
发现有两个方程组有两个方程是矛盾的
那应该是无解了
这个地方的原因是因为系数矩阵的秩是1
那么三行中必定会出现成比例的关系
如果p2选取不当的话
就会出现无解的
那怎么去解决了
因为齐次线性方案组的基础解系
取法不是唯一的
所以我们可以适当的先固定一个
重新选的第二个
使得方案组有解
在这里我们先固定P一
负110
P2取之前两个解向量的线性组合
这里的组合c1c2的选取
要使得向量P二呢
满足两条第一个与P一线性无关
第二条使得非齐次线性方程组有解
那么
重新考虑齐次线性方程组
从增广矩阵能看得出来
要是的方案组有解
必须要求C一和C二相等
那我们不妨设C一和C二都等于1
得出P二呢
是211是满足我们要求的
在解非齐次线性方程组
就会得到一个特解P三
那么合并P一P二P三就会得到矩阵P
提醒大家注意的是
当同一个特征值出现在两个及两个以上
Jordan块的时候
可能会遇到这样的问题
-1.1 特征值与特征向量的定义与求法
-1.2 特征值与特征向量计算举例
-1.3 特征值与特征向量的性质
-1.4 相似矩阵的定义及性质
-1.5 可对角化的条件
-1.6 可对角化的计算举例
-第1单元作业（共15个单选题）
--第1单元作业（共15个单选题）
-2.1 Jordan标准形的定义及方法1
-2.2 求Jordan标准型的方法2—初等变换法
-2.3 求Jordan标准型的方法3—行列式因子法
-2.4 相似变换矩阵的计算
-2.5 应用案例一、Jordan标准型的应用举例
-第2单元作业（共15个单选题）
--第2单元作业（共15个单选题）
-3.1 Hamilton-Cayley定理
-3.2 最小多项式
-第3单元作业（共10个单选题）
--第3单元作业（共10个单选题）
-4.1 酉矩阵的定义及性质
-4.2 Schur分解定理
-第4单元作业（共10个单选题）
--第4单元作业（共10个单选题）
-5.1 矩阵的LU分解
-5.2 初等反射与初等旋转矩阵
-5.3 矩阵的QR分解
-5.4 矩阵的奇异值分解
-5.5 矩阵的满秩分解
-5.6 应用案例二、QR算法与最小二乘问题
-第5单元作业（共15个单选题）
--第5单元作业（共15个单选题）
-6.1 广义逆矩阵与线性方程组
-6.2 Moore-Penrose逆A+及其应用
-第6单元作业（共10个单选题）
--第6单元作业（共10个单选题）
-7.1 向量范数
--7.1 向量范数
-7.2 方阵范数
--7.2 方阵范数
-7.3 范数的应用 1-数值分析
-7.4 范数的应用 2
-第7单元作业(共15个单选题)
--第7单元作业
-8.1 矩阵序列
--8.1矩阵序列
-8.2 矩阵函数计算 1
-8.3 矩阵函数计算 2
-8.4 矩阵函数计算 3
-8.5 矩阵的微分和积分
-8.6 矩阵函数的应用一阶常系数线性微分方程组的初值问题
--8.6 矩阵函数的应用一阶常系数线性微分方程组的初值问题
-第8 单元作业(共15个单选题)
--第8 单元作业(共15个单选题)
-9.1 特征值的界的估计
-9.2 特征值的包含区域
-9.3 特征值的分离
-第9单元作业(共15个单选题)
--第9单元作业(共15个单选题)
