9.3 特征值的分离在线视频

接下来，

我们想要利用盖尔圆，

来分离方阵的特征值。

分离方阵特征值的话，

第一个方法，就是利用列盖尔圆。

也就是，任何一个方阵A，和它的转置

都具有相同的特征值。

所以，对A的转置，应用盖尔定理

A的列，也就满足，我们前面所说的盖尔定理。

第一个结论是，

矩阵A，它的特征值

包含在下面所定义的，

n 个列盖尔圆并集之中。

结论二，

如果有k个列盖尔圆，

它所构成的，是一个连通区域，

而且与其它的圆盘是相孤立的。

那我们就知道，

在K个列盖尔圆所构成的联通区域中，

恰好有K个A的特征值。

结论三是，

把我们前面定义的盖尔圆，

和列盖尔圆的性质，结合在一起。

我们发现，

矩阵的特征值，实际上是位于

所有盖尔圆的并集，

和

所有列盖尔圆并集，的交集之中。

下面来看一个前面的例子，

我们刚才前面看到例子，我们知道

A所对应的盖尔圆，

是如下的，g1到g4，

橙色的圆。

而它的列盖尔圆，

是下面的g1一弯，到g4一弯，

是粉色的圆。

这时候，我们可以看到

把盖尔圆，连同A的列盖尔圆，

一起来考虑的话，

我们的矩阵的特征值，

实际上是，被如下的四个圆，

所分离开了。

下面的四个圆，是相互孤立的。所以我们知道，

每一个圆中恰有一个

矩阵A的特征值。

所以，这个方法就是，利用

矩阵的盖尔圆和它的列盖尔圆，

来试着分离矩阵的所有特征值。

但是，更常用的方法，是下面的方法。

就是利用相似性，

来分离矩阵的特征值。

想法是这样，

对于任何一个给定的矩阵，

我们试着，来取一个对角阵。

它对角线上的元素，

αi都是正数，

然后，我们利用对角阵D，

来对我们的矩阵A做相似。

相似后的矩阵，

与原来的矩阵A，具有相同的特征值，

但是具有不同的盖尔圆。

所以，我们有更多的盖尔圆的选择，

用来分离特征值。

大家可以看到，

任何一个矩阵A，

用对角阵D，做相似之后，

我们所得到的，新的矩阵是这样的。

也就是，

在做相似之前的矩阵，和相似之后的矩阵，

对角线上的元素是不变的；

而相似的结果，改变了对角线以外的元素，

也就是我们相似之后的矩阵。

实际上是，原来矩阵每一行，第 i 行，除掉了数αi，

而又在第 j 列，乘上了数αj。

我们有下面的一个简单定理，

就是原来矩阵，它的特征值

实际上和做相似之后

新矩阵的特征值是一样的。

所以这些特征值，

实际上都包含在，我们做相似之后

所得到的，新矩阵的盖尔圆当中。

而做相似之后，

新矩阵盖尔圆是，由下面式子给出的。

接下来，我们来看一些具体的例子。

如何来利用矩阵的相似，

来分离特征值？

我们下面给了一个方阵A，

我们要求的是，一个对角矩阵

α1，α2，α3，

使得，用对角矩阵D，对A做相似之后，

得到新矩阵的盖尔圆，

是互不相交的，

这样的话，就把我们矩阵的特征值分离开。

我们先要做的事情，就是

先求出原来矩阵A的盖尔圆。

如图，

G 1，G 2，G 3这个三个盖尔圆。

我们发现，这三个盖尔圆，我们可以放大

第二个盖尔园g2。

也就是，我们可以把对角矩阵的第二个元素

α2，写成小于1.

这样的话，会使得我们的第二个盖尔圆放大。

其他的每一行，

都会有元素，被乘上了α2，

这个小于1的数，

所以，其它行，所对应的盖尔圆会被缩小。

所以，我们可以通过

这样来选取α2，

来改变我们原来盖尔圆的样子。

试着，把原来相交的α1，α3分离开。

所以，我们的想法就是，

先选α2，是一个很小的数；

然后，其它的α都选为1。

这时候，我们可以适当的放大

第二个盖尔圆g2，

而缩小另外的两个盖尔圆，

g1和g3使它们分离开。

接下来的一个问题，就是

我们的α2

要被选成，一个小于一的数，

而其它的α1和α3要被选成1。

那α2，选成什么样数合适？

我们的选择是，我们把α二选成了0点1。

然后利用，我们现在得到的这个对角阵D，

对原来的矩阵A，做相似的，

得到新的矩阵，是这样子。

大家可以看到，它的盖尔圆

是下面的g1一弯，G2一弯，和g3一弯，

是图中绿色的圆。

这三个盖尔圆，已经互不相交分离开了。

我们知道，每个盖尔圆包含

唯一的一个特征值。

我们来看，第二个例子。

给定了方阵A，

也是利用矩阵的相似来分离。

方阵A的特征值，

其做法，跟前面的例子是类似的。

我们先要做的事情就是，对矩阵A

求出它的盖尔圆，

有如下的，g1，g2和g3。

我们发现矩阵A，它的三个盖尔圆中，

第一个圆g1，实际上是孤立的。

而另外的两个盖尔圆，g2，g3是相交的。

所以，我们可以适当的放大g1。

也就是，把α1选择一个小于1的数。

我们通常的话是，把其它的α都选成1。

接下来的问题就是，我们要把g1放大，

要把α1选择一个小于一的数，

那我们需要选多小的α1？

我们注意到，把g1放大两倍之后，

与其他的盖尔圆仍然不相交，

所以，我们可以把α选成二分之一，

也就是0点5。

我们得到了，我们用来做相似的对角阵。

也就是，α1选成了0点5，

其它的α选成1。

用矩阵D来做相似，我们得到了新的矩阵。

而这个新的矩阵，

它所对应的盖尔圆，

如下面的图，

大家可以看到，它的三个盖尔圆，

就是下图三个绿色的圆，是分离开的。

所以我们知道，每一个盖尔圆中，

只包含一个特征值。

我们来看第三个例子，

这是一个四乘四的矩阵。

我们要用相似的办法，

用盖尔圆，来分离它的特征值。

跟刚才的例子类似，我们先求A的盖尔圆，

我们求出了，g1，g2，g3，g4。

我们发现这个图中，

四个橙色的圆，就是我们方阵A的盖尔圆。

其中，第二个盖尔圆g2，它是孤立的。

所以，我们可以把这个圆，放大一些。

也就是，

我们可以把α2，这个数选成小于1的。

为了方便起见，我们的原则就是，

其它的α都选成1。

只是，把我们要放大的圆，所对应的α2

选成小于一，

α2选成多小的数合适？

我们发现，g2这个圆，

我们，把半径放大2点5倍之后，

它仍然与其它的

盖尔圆不相交。

所以，我们的α2

就选成，我们放大倍数的倒数。

也就是，2点5分之一等于0点4。

所以，用来做相似的矩阵D，就选好了。

它是第二个元素，

α2是0点4，其它α都选成1。

用这个矩阵来做相似，

我们得到了新的矩阵B，

而新的矩阵B，它所对应的盖尔圆，

就是，我们图中的这四个绿色的圆，

我们发现，这四个绿色的盖尔圆互不相交，

每一个圆中包含一个特征值。

而且这些特征值，全都是实数。

我们来看最后一个例子，

对下面的矩阵A，我们要用前面的方法，

来分离它的特征值。

我们先来求，A的盖尔圆

g1，g2，g3。

虽然，其中g1是孤立的，

我们可以把g1放大。

但是，在做了一些尝试之后，大家会发现

无论g1怎么放大，

都无法分离，相交的g2和G3。

所以，我们利用

行所定义的盖尔圆，是没法来分离

我们的特征值。

所以，我们考虑

利用列的盖尔圆。

我们考虑，A的转置，它所对应的列盖尔圆

是下面的g1尖角到g3尖角，

所对应的盖尔圆，就是如下图的，

三个绿色的圆，

我们发现，

其中的第三个盖尔圆，可以放大两倍，

与其它的列盖尔圆，互不相交。

所以，我们就把α3

选成了两倍的倒数，0点5。

其它的α都选成了1。

然后，

得到了对角矩阵D，

利用对角矩阵D做相似，得到了新的矩阵。

这个新的矩阵的盖尔圆，这就是下面图中

三个粉色的圆，它们是相互分离的。

所以，我们就完成了这个

矩阵，它特征值的分离。

所以这个例子，

跟前面三个例子不同的地方，就是

我们应用盖尔圆，却无法分离矩阵的特征值。

所以这时候，我们转向了，

它所对应的列盖尔圆。

利用列盖尔圆，来分离它的特征值。

大家看一下，

我们利用列盖尔圆，

然后，找到了一个

对角矩阵D，

来用对角矩阵D，做相似。

得到了新的矩阵，